Matemáticas II · Canarias 2014

Se sabe que la gráfica de $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x}$ tiene una recta tangente horizontal en el punto $P(2, 4)$. Hallar los valores de $a$ y $b$.

Calcular los siguientes límites:

La fabricación de $x$ tabletas gráficas supone un coste total dado por la función $C(x) = 1.500x + 1.000.000$. Cada tableta se venderá a un precio unitario dado por la función $p(x) = 4.000 - x$. Suponiendo que todas las tabletas fabricadas se venden, ¿cuál es el número que hay que producir para obtener el beneficio máximo?

Dadas las funciones $f(x) = \sen(x)$ y $g(x) = \cos(x)$, se pide:

Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del parámetro $m$ y resolverlo en los casos en que sea posible $$\begin{cases} x + y = 1 \\ my + z = 0 \\ x + (m + 1)y + mz = m + 1 \end{cases}$$

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 2 & \frac{1}{2} & 5 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Hallar las matrices $X$ e $Y$ de dimensiones $2 \times 3$ tales que verifican el sistema matricial $$\begin{cases} 3X + Y = A \\ 4X + 2Y = B \end{cases}$$

Dados los puntos $A(-1, 0, 3)$, $B(2, 4, 1)$ y $C(-4, 3, 1)$:

Determinar el valor de $a$ para que la recta $r$ de ecuación $r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 2 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases}$ sea paralela al plano $\beta \equiv x - ay + 10z = -3$.