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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se sabe que la gráfica de f(x)=ax2+bxf(x) = \frac{ax^2 + b}{x} tiene una recta tangente horizontal en el punto P(2,4)P(2, 4). Hallar los valores de aa y bb.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
La fabricación de xx tabletas gráficas supone un coste total dado por la función C(x)=1.500x+1.000.000C(x) = 1.500x + 1.000.000. Cada tableta se venderá a un precio unitario dado por la función p(x)=4.000−xp(x) = 4.000 - x. Suponiendo que todas las tabletas fabricadas se venden, ¿cuál es el número que hay que producir para obtener el beneficio máximo?
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del parámetro mm y resolverlo en los casos en que sea posible{x+y=1my+z=0x+(m+1)y+mz=m+1\begin{cases} x + y = 1 \\ my + z = 0 \\ x + (m + 1)y + mz = m + 1 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los puntos A(−1,0,3)A(-1, 0, 3), B(2,4,1)B(2, 4, 1) y C(−4,3,1)C(-4, 3, 1):
a
Estudiar si los puntos AA, BB y CC están alineados.1,25 pts
b
Hallar la ecuación de la recta paralela al segmento ABAB y que pasa por CC. Expresarla como intersección de dos planos.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcular los siguientes límites:
a
Calcular lim⁡x→01−cos⁡(x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}0,75 pts
b
Calcular lim⁡x→01−1−x2x\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x}0,75 pts
c
Calcular el valor de mm de tal forma que lim⁡x→+∞(1−mx)(2x+3)x2+4=6\lim_{x \to +\infty} \frac{(1 - mx)(2x + 3)}{x^2 + 4} = 61 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=sen⁡(x)f(x) = \sen(x) y g(x)=cos⁡(x)g(x) = \cos(x), se pide:
a
Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x) y las rectas x=π4x = \frac{\pi}{4} y x=πx = \pi.1,25 pts
b
Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x) y las rectas x=π4x = \frac{\pi}{4} y x=2πx = 2\pi.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las matrices A=(32102125)A = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 2 & \frac{1}{2} & 5 \end{pmatrix} y B=(342213)B = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. Hallar las matrices XX e YY de dimensiones 2×32 \times 3 tales que verifican el sistema matricial{3X+Y=A4X+2Y=B\begin{cases} 3X + Y = A \\ 4X + 2Y = B \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Determinar el valor de aa para que la recta rr de ecuación r≡{x−y+2z=22x+y+z=3r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 2 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases} sea paralela al plano β≡x−ay+10z=−3\beta \equiv x - ay + 10z = -3.
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