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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2022ExtraordinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Calcula aa sabiendo que lim⁡x→+∞ax(ln⁡x)3+2x=1\lim_{x \to +\infty} \frac{ax}{(\ln x)^3 + 2x} = 1 (donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=−x2+12f(x) = -x^2 + 12 y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Calcula ∫3811+x−1dx\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1+x}-1} dx. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=1+x−1t = \sqrt{1+x}-1.)
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2 y g(x)=−x2+2x+2g(x) = -x^2 + 2x + 2.
a
Calcula los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Esboza sus gráficas.1,25 pts
b
Determina el área del recinto limitado por las gráficas de ff y gg en el primer cuadrante.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Sean las matrices:A=(10−21),B=(11a2a1220),C=(10−22−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}
a
Determina los valores de aa para los que la matriz BB no tiene inversa.0,5 pts
b
Para a=1a = 1 calcula XX tal que AXB=CAXB = C, si es posible.2 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Se sabe que ∣abcpqrxyz∣=−2\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2.
a
Calcula: ∣acb2x2z2y−3p−3r−3q∣\begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{vmatrix}1 pt
b
Calcula: ∣xa−3p−2ayb−3q−2bzc−3r−2c∣\begin{vmatrix} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{vmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Considera las rectas r≡x+1=y−a=−zr \equiv x + 1 = y - a = -z y s≡{x=5+2λy=−3z=2−λs \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}
a
Calcula aa para que rr y ss se corten. Determina dicho punto de corte.1,5 pts
b
Halla la ecuación del plano que pasa por P(8,−7,2)P(8, -7, 2) y que contiene a la recta ss.1 pt
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Sean el plano π≡x+y−z=2\pi \equiv x + y - z = 2 y la recta r≡x=y3=z−1r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1.
a
Calcula, si existe, el punto de intersección de π\pi y rr.0,75 pts
b
Dado el punto Q(2,6,3)Q(2, 6, 3), halla su simétrico respecto del plano π\pi.1,75 pts
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