Matemáticas II · La Rioja 2020

Calcular los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} a(x^2 - 9) + \frac{bx}{3} - b, & x < 3 \\ \ln(b(x - 2)), & x \geq 3 \end{cases}$$ sea derivable.

Determinar el dominio y las asíntotas de la función $$f(x) = \frac{x + 3}{(x + 2)^2}$$ Calcular la recta tangente en su punto de inflexión.

Calcular el área del recinto limitado por las funciones $f$ y $g$, siendo éstas: $$f(x) = \frac{x^2}{9} + \frac{x}{3} - 2, \quad g(x) = (x - 2)^2 - 1$$ y las rectas $x = 3$, $x = 5$.

Discutir y resolver según el valor del parámetro real $a$ el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} (a - 1)x + y + 3az = 1 \\ ax + ay - z = a \\ (a - 1)x + y + (a - 1)z = -2a + 1 \end{cases}$$

Calcular el siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & y & z & t \\ x^2 & y^2 & z^2 & t^2 \\ x^3 & y^3 & z^3 & t^3 \end{vmatrix}$$

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad m \in \mathbb{R}$$ Hallar $A^{-1}$ y $A^{10}$.

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta $$r \equiv \begin{cases} x + 3y - 4z + 9 = 0 \\ -x - 2y + z + 1 = 0 \end{cases}$$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x + 3y + z + 1 = 0$.

Dadas las rectas $r$ y $s$: $$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 4x - 2y + 2z = 10 \end{cases}, \qquad s \equiv \frac{x + 3}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{3}$$ y el plano $\pi \equiv x + y - z + 6 = 0$. Hallar la posición relativa entre:

La estancia vacacional de una familia en un hotel sigue una distribución Normal, de media 15 días y desviación típica 4 días.

En una clase de 35 alumnos, asisten 30 de ellos. Se sabe que aprueban todas las asignaturas el 80 % de los alumnos que asisten a clase y el 10 % de los que no asisten. Se elige un alumno al azar.