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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A
Sea la función f:[−2,2π]⟶Rf : [-2, 2\pi] \longrightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)={5x+1si−2≤x≤0excos⁡(x)si0<x≤2πf(x) = \begin{cases} 5x + 1 & \text{si} \quad\allowbreak -2 \leq x \leq 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si} \quad\allowbreak 0 < x \leq 2\pi \end{cases}
a
Halla los extremos relativos y absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).2 pts
b
Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=π2x = \frac{\pi}{2}.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A
Sea f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x(ln⁡(x))2f(x) = x (\ln(x))^2 (ln denota la función logaritmo neperiano).
a
Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
b
Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque A
Calcula aa con 0<a<10 < a < 1, tal que ∫a1ln⁡(x)xdx+2=0\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x} dx + 2 = 0 (ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque A
Considera las funciones f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} y g:R−{0}→Rg : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=5−x2f(x) = 5 - x^2 y g(x)=4x2g(x) = \frac{4}{x^2}.
a
Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.1,25 pts
b
Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de ff y gg.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque B
Sea la matriz A=(111111111)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} e II la matriz identidad de orden 3.
a
Halla los valores de mm para que la matriz A−mIA - mI no tenga inversa.1 pt
b
Halla xx, distinto de cero, para que A−xIA - xI sea la inversa de la matriz 1x(A−I)\frac{1}{x}(A - I).1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque B
El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de 500 euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es 60 euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el 6%6\%, el 12%12\% y el 30%30\%, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a 592,4 euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque B
Considera los planos π1≡x−y+z=0\pi_1 \equiv x - y + z = 0 y π2≡x+y=2\pi_2 \equiv x + y = 2.
a
Calcula la distancia entre la recta intersección de π1\pi_1 y π2\pi_2 y el punto P(2,6,−2)P(2, 6, -2).1,5 pts
b
Halla el ángulo que forman π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque B
Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos A(0,2,−2)A(0, 2, -2), B(3,2,1)B(3, 2, 1) y C(2,3,2)C(2, 3, 2) con los planos cartesianos.
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