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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2017OrdinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene que tener 1616 metros cuadrados. Si es posible, determina la base xx para que el perímetro sea mínimo.
Diagrama de una puerta compuesta por un rectángulo de base x y altura h, coronado por un semicírculo de diámetro x.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la región limitada por las curvas y=x2y = x^2 y y=−x2+4xy = -x^2 + 4x.
a
Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.0,75 pts
b
Expresa el área como una integral.0,75 pts
c
Calcula el área.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera A=(−2−20−21000−2)A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} y X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
a
Determina los valores de λ\lambda para los que la matriz A+λIA + \lambda I no tiene inversa (II es la matriz identidad).1 pt
b
Resuelve AX=−3XAX = -3X. Determina, si existe, alguna solución con x=1x = 1.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(1,−1,0)P(1, -1, 0) y la recta rr dada por {x=1+3ty=−2z=t\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 \\ z = t \end{cases}.
a
Determina la ecuación del plano que pasa por PP y contiene a rr.1,25 pts
b
Halla las coordenadas del punto simétrico de PP respecto de rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función ff definida por f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x - 1} para x≠1x \neq 1.
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.1 pt
b
Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de ff. Calcula los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫116dxx+x4\int_{1}^{16} \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} (sugerencia t=x4t = \sqrt[4]{x}).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sabemos que el coste de 33 lápices, 11 rotulador y 22 carpetas es de 1515 euros, mientras que el de 22 lápices, 44 rotuladores y 11 carpeta es de 2020 euros.
a
Sabiendo que 11 lápiz y 77 rotuladores cuestan 2525 euros ¿podemos deducir el precio de cada uno de los artículos? Razona la respuesta.1,5 pts
b
Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 1010 lápices ¿cuánto cuesta cada uno de los artículos?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los vectores u⃗=(1,0,1)\vec{u} = (1, 0, 1), v⃗=(0,2,1)\vec{v} = (0, 2, 1) y w⃗=(m,1,n)\vec{w} = (m, 1, n).
a
Halla mm y nn sabiendo que u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} son linealmente dependientes y que w⃗\vec{w} es ortogonal a u⃗\vec{u}.1,25 pts
b
Para n=1n = 1, halla los valores de mm para que el tetraedro determinado por u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} tenga volumen 1010 unidades cúbicas.1,25 pts
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