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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025OrdinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno. d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados. h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque obligatorio
Juan ha gastado 8080 € por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.
a
¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta.1,25 pts
b
Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 5757 €, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30%30\%, del 40%40\% y del 20%20\%, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (2 o 3).

Sabiendo que lim⁡x→0sen⁡(x)−ax+2−2cos⁡(x)ex−xcos⁡(x)−1\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^x - x\cos(x) - 1} es finito, calcula aa y el valor del límite.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (2 o 3).

Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x)=a+ln⁡(x)x2f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2}.
a
Calcula aa para que y=1y = 1 sea una asíntota horizontal de la gráfica de ff.1 pt
b
Para a=0a = 0, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff. Estudia y halla los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (4 o 5).

Sean los puntos O(0,0,0)O(0, 0, 0), A(0,2,−2)A(0, 2, -2), B(1,2,m)B(1, 2, m) y C(2,3,2)C(2, 3, 2).
a
Halla los valores de mm para que el tetraedro determinado por los puntos O,A,BO, A, B y CC tenga un volumen de 33 unidades cúbicas.1,25 pts
b
Para m=0m = 0, calcula la distancia del punto OO al plano que pasa por los puntos A,BA, B y CC.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (4 o 5).

Considera el punto P(1,1,1)P(1, 1, 1) y la recta r≡x−11=y−22=z−32r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{2}.
a
Halla el plano que pasa por el punto PP y contiene a la recta rr.1 pt
b
Halla la recta que pasa por el punto PP y corta perpendicularmente a la recta rr.1,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (6 o 7).

Halla la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} que pasa por los puntos (2,e−2−2ln⁡(2))(2, e - 2 - 2\ln(2)) y (1,0)(1, 0), y verifica que f′′(x)=ex−1−1xf''(x) = e^{x-1} - \frac{1}{x}.
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (6 o 7).

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023: Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.
CochesMotos
Aptos116.383160.667
No aptos2.6793.447
a
¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?1,25 pts
b
Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?1,25 pts
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