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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025ExtraordinariaSuplente 1

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno. d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados. h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque obligatorio
Considera las rectas r≡x1=y−2−1=z−k2r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - k}{2} y s≡x+2−1=y+32=z−11s \equiv \frac{x + 2}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1}.
a
Determina kk sabiendo que ambas se cortan en un punto.1,5 pts
b
Para k=0k = 0, halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas (2,0)(2, 0) de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función f(x)=x+1f(x) = \sqrt{x + 1}. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Sea la función f:(−1,1)→Rf: (-1, 1) \to \mathbb{R} definida por f(x)=1+∣x∣1−∣x∣f(x) = \frac{1 + |x|}{1 - |x|}.
a
Estudia la derivabilidad de ff.1,5 pts
b
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Se considera la matriz M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} con determinante igual a −5-5.
a
Calcula ∣a11a312a213a123a326a222a132a334a23∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}.1,25 pts
b
Calcula ∣2a11−3a312a12−3a324a13−6a33a21a222a23a31a322a33∣\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Sean las matrices A=(a3b1)A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} y B=(11−1211)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Determina aa y bb para que A2=4IA^2 = 4I, donde II es la matriz identidad de orden 2.1,5 pts
b
Para a=−1a = -1 y b=1b = 1, calcula, si es posible, la matriz XX que cumple A2X=BtA^2 X = B^t.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=−exf(x) = -e^x y g(x)=−e−xg(x) = -e^{-x}.
a
Esboza las gráficas de dichas funciones.1 pt
b
Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas x=−1x = -1 y x=1x = 1.1,5 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200200 gramos y desviación típica desconocida.
a
Si el 33%33\% de las manzanas pesan más de 230230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.1,25 pts
b
Si la desviación típica es de 5050 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160160 y 220220 gramos.1,25 pts
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