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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025ExtraordinariaSuplente 1

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
BLOQUE OBLIGATORIO
Considera las rectas r≡x1=y−2−1=z−k2r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - k}{2} y s≡x+2−1=y+32=z−11s \equiv \frac{x + 2}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1}.
a)1,5 pts
Determina kk sabiendo que ambas se cortan en un punto.
b)1 pts
Para k=0k = 0, halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas (2,0)(2, 0) de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función f(x)=x+1f(x) = \sqrt{x + 1}. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 2 o Ejercicio 3).

Sea la función f:(−1,1)→Rf: (-1, 1) \to \mathbb{R} definida por f(x)=1+∣x∣1−∣x∣f(x) = \frac{1 + |x|}{1 - |x|}.
a)1,5 pts
Estudia la derivabilidad de ff.
b)1 pts
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Se considera la matriz M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} con determinante igual a −5-5.
a)1,25 pts
Calcula ∣a11a312a213a123a326a222a132a334a23∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}.
b)1,25 pts
Calcula ∣2a11−3a312a12−3a324a13−6a33a21a222a23a31a322a33∣\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 4 o Ejercicio 5).

Sean las matrices A=(a3b1)A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} y B=(11−1211)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
a)1,5 pts
Determina aa y bb para que A2=4IA^2 = 4I, donde II es la matriz identidad de orden 2.
b)1 pts
Para a=−1a = -1 y b=1b = 1, calcula, si es posible, la matriz XX que cumple A2X=BtA^2 X = B^t.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=−exf(x) = -e^x y g(x)=−e−xg(x) = -e^{-x}.
a)1 pts
Esboza las gráficas de dichas funciones.
b)1,5 pts
Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas x=−1x = -1 y x=1x = 1.
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3

Resuelva sólo uno de los ejercicios del bloque (Ejercicio 6 o Ejercicio 7).

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200200 gramos y desviación típica desconocida.
a)1,25 pts
Si el 33%33\% de las manzanas pesan más de 230230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.
b)1,25 pts
Si la desviación típica es de 5050 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160160 y 220220 gramos.
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