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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2026

4 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a una tarea de cada apartado: 1A o 1B, 2A o 2B, la tarea 3 y 4A o 4B.
Puntuación
Cada ejercicio vale 2,5 puntos. La puntuación de cada pregunta figura en el enunciado.
Material
No se permiten calculadoras gráficas ni programables.
Además
Todas las respuestas deben ser razonadas. Si resuelves más de una opción de un apartado, solo se corrige la primera según el orden en que aparecen resueltas en el cuadernillo de examen.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Apartado 1Bloque A+D

Resuelve una de las siguientes tareas (1A o 1B):

Considera la matriz presentada a continuación,A=(1a001000a)A = \begin{pmatrix}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{pmatrix}dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}. Responde a las siguientes cuestiones:
a
Estudia el rango de AA en función del valor del parámetro aa.0,5 pts
b
Calcula A100A^{100} en función del parámetro aa.1 pt
c
Para a=−1a = -1, calcula, si es posible, la matriz XX que cumple:AXA−1=(22200−10−2−2)AXA^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2\end{pmatrix}1 pt
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Resuelve una de las siguientes tareas (1A o 1B):

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:{x+y+z=0y+az=1ay+z=2−a\begin{cases}x + y + z = 0 \\ y + az = 1 \\ ay + z = 2 - a\end{cases}dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}. Responde a las siguientes cuestiones:
a
Discute el sistema en función de los valores de aa.1,5 pts
b
Considera a=2a = 2. Si el sistema es compatible, halla su solución general.0,5 pts
c
Considera a=1a = 1. Si el sistema es compatible, halla su solución general.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Apartado 2Bloque B

Resuelve una de las siguientes tareas (2A o 2B):

Considera la función presentada a continuación,f(x)=x2+ax+1x+a2f(x) = \frac{x^2 + ax + 1}{x + a^2}donde a∈Ra \in \mathbb{R}. Responde a las siguientes cuestiones:
a
Calcula los valores de aa para los que f(x)f(x) tiene como asíntota oblicua a la recta: y=x−6y = x - 6.1 pt
b
Considera a=−2a = -2, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
c
Considera a=−2a = -2, halla la expresión de la recta tangente a f(x)f(x) en x=−1x = -1.0,5 pts
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Resuelve una de las siguientes tareas (2A o 2B):

Considera la función real presentada a continuación,f(x)=ex−1e2x−4f(x) = \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 4}y responde a las siguientes cuestiones:
a
Si existen, calcula las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
b
Calcula una primitiva de f(x)f(x) que en x=ln⁡4x = \ln 4 tome el valor ln⁡2\ln 2.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Apartado 3Bloque C
Considera los puntos A=(0,0,4)A = (0, 0, 4), B=(−3,0,0)B = (-3, 0, 0) y C=(0,−2,0)C = (0, -2, 0).
a
Halla la ecuación general o implícita del plano que contiene a AA, BB y CC.0,5 pts
b
Calcula la distancia entre el punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1) y la recta que contiene a AA y BB.1 pt
c
Calcula el volumen del tetraedro formado por los vértices AA, BB, CC y D=(0,0,0)D = (0, 0, 0).1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Apartado 4Bloque E

Resuelve una de las siguientes tareas (4A o 4B).

En un criadero de cobayas tienen variedades de pelo corto y de pelo largo. En cualquiera de estas variedades, disponen de animales blancos o marrones. Del total de cobayas, el 60%60\% es de pelo corto, y solo el 8%8\% son blancas de pelo largo.
a
Calcula la probabilidad de que, habiendo elegido una cobaya de pelo largo al azar, esta sea de color marrón.0,75 pts
Si la probabilidad de escoger al azar una cobaya blanca es de 0,20{,}2:
b
Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya marrón al azar, esta sea de pelo largo.1 pt
c
Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya de pelo corto, esta sea marrón.0,75 pts
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Resuelve una de las siguientes tareas (4A o 4B).

El diámetro de las mandarinas de cierta variedad se distribuye normalmente con una media de 60 mm60\,\text{mm} y una desviación típica de 16 mm16\,\text{mm}.
a
Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro menor de 40 mm40\,\text{mm} o mayor de 90 mm90\,\text{mm}.1 pt
b
Calcula la probabilidad de que, al escoger al azar dos mandarinas, ambas tengan menos de 50 mm50\,\text{mm} de diámetro.1 pt
c
Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro entre 40 mm40\,\text{mm} y 50 mm50\,\text{mm}.0,5 pts
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Formulario

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Tabla de la distribución normal N(0,1)N(0,1)P(z≤z0)=12π∫−∞z0e−z22 dz\begin{aligned}P(z \leq z_0) &= \\ &\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z_0} e^{-\frac{z^2}{2}}\,dz\end{aligned}
Curva de la distribución normal centrada en cero, con el área acumulada sombreada hasta la abscisa positiva indicada.
z0z_00,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09z0z_0
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,53590,0
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,57530,1
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,61410,2
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,65170,3
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,68790,4
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,72240,5
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,75490,6
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,78520,7
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,81330,8
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,83890,9
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,86211,0
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,88301,1
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,90151,2
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,91771,3
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,93191,4
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,94411,5
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,95451,6
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,96331,7
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,97061,8
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,97671,9
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,98172,0
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,98572,1
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,98902,2
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,99162,3
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,99362,4
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,99522,5
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,99642,6
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,99742,7
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,99812,8
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,99862,9
3,00,998650,998690,998740,998780,998820,998860,998890,998930,998960,999003,0
3,10,999030,999060,999100,999130,999160,999180,999210,999240,999260,999293,1
3,20,999310,999340,999360,999380,999400,999420,999440,999460,999480,999503,2
3,30,999520,999530,999550,999570,999580,999600,999610,999620,999640,999653,3
3,40,999660,999680,999690,999700,999710,999720,999730,999740,999750,999763,4
3,50,999770,999780,999780,999790,999800,999810,999810,999820,999830,999833,5
3,60,999840,999850,999850,999860,999860,999870,999870,999880,999880,999893,6
3,70,999890,999900,999900,999900,999910,999910,999920,999920,999920,999923,7
3,80,999930,999930,999930,999940,999940,999940,999940,999950,999950,999953,8
3,90,999950,999950,999960,999960,999960,999960,999960,999960,999970,999973,9