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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2013ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5\sqrt{5} cm. de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Halla ∫x+11+xdx\int \frac{x + 1}{1 + \sqrt{x}} dx. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t=xt = \sqrt{x}.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{x−y+z=02x+3y−z=3\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + 3y - z = 3 \end{cases}
a
Determina el valor de mm para el que al añadir la ecuación x+my+4z=−3x + my + 4z = -3 al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.1,5 pts
b
Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Del paralelogramo ABCDABCD se conocen los vértices A(−1,0,3)A(-1, 0, 3), B(2,−1,1)B(2, -1, 1) y C(3,2,−3)C(3, 2, -3).
a
Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.1 pt
b
Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal ACAC del paralelogramo.1 pt
c
Calcula las coordenadas del vértice DD.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Determina aa, bb y cc sabiendo que la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0 es y+x=−3y + x = -3 y que el punto de inflexión tiene abscisa x=1x = 1.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea g:(0,+∞)→Rg: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} la función definida por g(x)=∣ln⁡(x)∣g(x) = |\ln(x)| (donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
a
Esboza el recinto limitado por la gráfica de gg y la recta y=1y = 1. Calcula los puntos de corte entre ellas.1,25 pts
b
Calcula el área del recinto anterior.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matrices A=(−1201)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(1−110)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcula XX e YY tales que X−Y=AtX - Y = A^t y 2X−Y=B2X - Y = B (AtA^t es la matriz traspuesta de AA).1,25 pts
b
Calcula ZZ tal que AZ=BZ+AAZ = BZ + A.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,2,3)A(1, 2, 3) y B(−1,0,4)B(-1, 0, 4).
a
Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento ABAB en tres partes iguales.1,25 pts
b
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto AA y es perpendicular al segmento ABAB.1,25 pts
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