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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2021ExtraordinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A
Calcula aa y bb sabiendo que lim⁡x→0a(1−cos⁡(x))+bsen⁡(x)−2(ex−1)x2=7\lim_{x \to 0} \frac{a(1 - \cos(x)) + b \sen(x) - 2(e^x - 1)}{x^2} = 7.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A
Halla a>0a > 0 y b>0b > 0 sabiendo que la gráfica de la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=bx21+ax4f(x) = \frac{bx^2}{1 + ax^4} tiene en el punto (1,2)(1, 2) un punto crítico.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)=1+∫0xtetdtf(x) = 1 + \int_{0}^{x} t e^t dtDetermina los intervalos de concavidad y de convexidad de ff y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función ff definida por f(x)=x2+1x2−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} (para x≠−1,x≠1x \neq -1, x \neq 1). Halla una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (2,4)(2, 4).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque B
Considera la matriz A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
a
Comprueba que A2=−A−1A^2 = -A^{-1}.1,25 pts
b
Dadas las matricesB=(1−130−45)yC=(20−321−1)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}calcula la matriz XX que verifica A4X+B=ACA^4 X + B = AC.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque B
Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.
a
Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.1,25 pts
b
Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?1,25 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque B
La recta perpendicular desde el punto A(1,1,0)A(1, 1, 0) a un cierto plano π\pi corta a éste en el punto B(1,12,12)B(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}).
a
Calcula la ecuación del plano π\pi.1,5 pts
b
Halla la distancia del punto AA a su simétrico respecto a π\pi.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque B
Considera las rectasr≡{x=3+λy=1z=−3−λys≡{x+y=1z=0r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de rr y ss.1,25 pts
b
Halla la recta que corta perpendicularmente a rr y a ss.1,25 pts
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