Matemáticas CCSS · Baleares 2010

La suma de las tres cifras de un determinado número es 13. La cifra de las centenas excede en 4 unidades a la de las decenas. Si se intercambia la cifra de las unidades con la de las centenas, el número aumenta en 495 unidades. ¿De qué número se trata?

Considerad la función $f(x) = x \ln \frac{x}{a}, a > 0$. Dad el valor de $a$ para que $f(x)$ tenga un mínimo relativo en $x = 1$.

Se quiere construir una caja rectangular sin tapa en la parte superior y de base cuadrada, con $108$ decímetros cuadrados de material. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para obtenerla de volumen máximo?

Una bodega quiere preparar dos tipos de lotes, $L_1$ y $L_2$. Cada lote del tipo $L_1$ está formado por 1 botella de vino tinto, 2 de vino rosado y 1 de vino blanco, y cada lote del tipo $L_2$ está formado por 2 botellas de vino tinto, 1 de vino rosado y 1 de vino blanco. Con cada lote del tipo $L_1$ se obtiene un beneficio de 6 euros, y con cada lote del tipo $L_2$, uno de 4 euros. La bodega dispone de 1000 botellas de vino tinto, 1000 de vino rosado y 600 de vino blanco. ¿Cuántos lotes de cada tipo se deben preparar para obtener un beneficio máximo?

Una urna A contiene 3 bolas blancas y 2 negras y otra urna B contiene 4 blancas y 1 negra. Se elige una urna al azar y se extraen 2 bolas sin reemplazo.

Considerad el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $m$: $$\begin{cases} 2x + y - z = -3 \\ x - 2y + 2z = 1 \\ 2x + y + mz = 5 \end{cases}$$

En una conversación de un bar de una determinada población, Juan asegura que al menos el 20% de los habitantes de la población llevan gafas graduadas y Pedro le contesta que no lo cree. Entonces Pedro decide tomar una muestra aleatoria de 256 habitantes de la población y resulta que 48 llevan gafas graduadas. A un nivel de significación de $0{,}05$, ¿tiene Pedro suficiente evidencia para refutar la afirmación de Juan?

Se supone que la vida de las bombillas que fabrica una determinada empresa sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 60 horas. Para estimar la vida media se quiere utilizar una muestra de tamaño $n$. Calculad el valor mínimo de $n$ para que, con un nivel de confianza del 99%, el error en la estimación sea menor que 10 horas.