Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2012

Dada la función $$f(x) = \frac{ax^2 + b}{2x + 6},$$ calcula los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ sabiendo que: • $f(x)$ tiene una asíntota oblicua de pendiente 2 • $f(x)$ tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa $x = 0$.

Calcula las siguientes integrales: $$\int \sen^2 x \cos x \, dx \qquad \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$$

Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \qquad \text{y} \qquad g(x) = 1$$

Sabiendo que $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = 5,$$ calcula el valor de los determinantes $$\begin{vmatrix} b & b + a & 2 c \\ e & e + d & 2 f \\ h & h + g & 2 i \end{vmatrix} \qquad \qquad \begin{vmatrix} a + d + g & b + e + h & c + f + i \\ d + g & e + h & f + i \\ g & h & i \end{vmatrix}$$ indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.

Dado el plano $\pi \equiv x + y + 2z = 7$ y el punto $P(1, 0, 0)$

Dado el punto $P(1, 0, 0)$ y la recta $$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = -1 \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$