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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2012

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle.1 pt
b
Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación x5−5x+3=0x^5 - 5x + 3 = 01 pt
c
Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula las siguientes integrales:∫sen⁡2xcos⁡x dx∫exx dx\int \sen^2 x \cos x \, dx \qquad \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sabiendo que(abcdefghi)=5,\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = 5,calcula el valor de los determinantes∣bb+a2cee+d2fhh+g2i∣∣a+d+gb+e+hc+f+id+ge+hf+ighi∣\begin{vmatrix} b & b + a & 2 c \\ e & e + d & 2 f \\ h & h + g & 2 i \end{vmatrix} \qquad \qquad \begin{vmatrix} a + d + g & b + e + h & c + f + i \\ d + g & e + h & f + i \\ g & h & i \end{vmatrix}indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el plano π≡x+y+2z=7\pi \equiv x + y + 2z = 7 y el punto P(1,0,0)P(1, 0, 0)
a
Calcula el punto QQ de π\pi que hace mínima la distancia a PP.1,25 pts
b
Calcula el punto simétrico P′P' de PP respecto del plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la funciónf(x)=ax2+b2x+6,f(x) = \frac{ax^2 + b}{2x + 6},calcula los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} sabiendo que: • f(x)f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2 • f(x)f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funcionesf(x)=x3−3x2+2x+1yg(x)=1f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \qquad \text{y} \qquad g(x) = 1
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}{x+y+2z=0ax−3z=a2x+ay−z=a\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ ax - 3z = a \\ 2x + ay - z = a \end{cases}1,5 pts
b
Resuélvelo para el valor a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el punto P(1,0,0)P(1, 0, 0) y la rectar≡{x=2λy=3+λz=−1λ∈Rr \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = -1 \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}
a
Da unas ecuaciones paramétricas de la recta ss que pasa por PP y corta perpendicularmente a rr.1,25 pts
b
Calcula la distancia de PP a rr.1,25 pts
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