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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2026

4 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde al problema 1, obligatorio, y elige un problema, A o B, de cada uno de los apartados 2, 3 y 4. En total, cuatro problemas.
Puntuación
Cada problema vale un máximo de 2,5 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Material
Calculadora científica no programable, sin memoria para texto, resolución de ecuaciones, cálculo matricial, resolución de integrales, representaciones gráficas ni conexión a internet.
Además
Si respondes a los dos problemas de un mismo apartado, solo se corrige el primero que no esté totalmente tachado. Deben figurar las operaciones no triviales. Da respuestas numéricas exactas o con tres decimales. Desde el tercer error ortográfico se descuentan 0,1 puntos por error; los repetidos cuentan una sola vez. La redacción, presentación y corrección léxica o gramatical pueden restar hasta medio punto. La deducción total máxima es de un punto.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Apartado 1
Sean las matrices A=(220020204)A = \begin{pmatrix}2&2&0\\0&2&0\\2&0&4\end{pmatrix}, B=(−34−6−21−2−113−8)B = \begin{pmatrix}-3&4&-6\\-2&1&-2\\-11&3&-8\end{pmatrix} e I=(100010001)I = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
a
Resolver la ecuación matricial 14A2−AX=B\frac{1}{4}A^2-AX=B.0,5 pts
b
Discutir el sistema de ecuaciones: (A−αI)(xyz)=(001)(A-\alpha I)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, en función del parámetro α∈R\alpha\in\mathbb{R}.1,5 pts
c
Si ∣abcdefghi∣=−2\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=-2, calcular el valor de ∣g−5a2da2h−10b4e2bi−5c2fc∣\begin{vmatrix}g-5a&2d&a\\2h-10b&4e&2b\\i-5c&2f&c\end{vmatrix}.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Apartado 2

elegir UN problema

Sea la función f(x)={4(x+1)(4+x2)2,si x<0,ex(1+ex)2+x4,si x≥0,f(x)=\begin{cases}\dfrac{4(x+1)}{(4+x^2)^2},&\text{si }x<0,\\\dfrac{e^x}{(1+e^x)^2}+\dfrac{x}{4},&\text{si }x\geq 0,\end{cases}
a
Estudiar las asíntotas de f(x)f(x).1,5 pts
b
Calcular ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx.1 pt
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elegir UN problema

(Propuesto en la Comunidad de Cantabria en junio de 2024). Considere la función f(x)=xln⁡(x)f(x)=x\ln(x), con x>0x>0
a
Calcular la derivada de f(x)f(x).0,75 pts
b
Calcular una primitiva de f(x)f(x).0,75 pts
c
Calcular el área del recinto limitado por f(x)f(x), el eje OXOX (abscisas) y las dos rectas x=1x=1 y x=2x=2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Apartado 3

elegir UN problema

Dado el plano π≡x+y=0\pi\equiv x+y=0, el punto A(1,−1,0)A(1,-1,0) y la recta s≡x=y=zs\equiv x=y=z. Hallar la recta rr, en su forma paramétrica, que pasa por AA, está contenida en π\pi, y corta a la recta ss.
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elegir UN problema

Los puntos A(1,1,1)A(1,1,1) y B(0,2,0)B(0,2,0) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCDABCD. El centro del paralelogramo es E(0,0,1)E(0,0,1).
a
Calcular las coordenadas de los otros vértices.1 pt
b
Hallar la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.1 pt
c
Hallar el volumen del tetraedro formado por los vértices ABEOABEO, siendo O(0,0,0)O(0,0,0) el origen de coordenadas.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Apartado 4

elegir UN problema

El agua almacenada diariamente en el pantano de Riaño durante el año 2.025 (365 días), sigue una distribución normal con media 337,2 hm3337{,}2\,\text{hm}^3 y desviación típica de 40,5 hm340{,}5\,\text{hm}^3.
a
Elegido al azar un día del año 2.025, calcular la probabilidad de que el agua almacenada haya sido superior a 299,94 hm3299{,}94\,\text{hm}^3.1 pt
b
Calcular el número probable de días que en 2.025 tuvieron almacenada una cantidad de agua comprendida entre 299,94 hm3299{,}94\,\text{hm}^3 y 350,16 hm3350{,}16\,\text{hm}^3.1 pt
c
Razonar, utilizando sólo resultados de los apartados anteriores, si, en este contexto, es correcto afirmar que: “el número de días con una cantidad de agua almacenada comprendida entre 310 hm3310\,\text{hm}^3 y 330 hm3330\,\text{hm}^3 debería estar entre 170170 y 180180”.0,5 pts
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elegir UN problema

Lucía, Gloria y María se reparten los ejercicios que la profesora de matemáticas asigna a su grupo. Lucía resuelve el 45%45\%, Gloria el 30%30\% y María el resto. Además, sabemos que Lucía resuelve correctamente el 90%90\% de los ejercicios que realiza, Gloria el 95%95\% y María el 80%80\%.
a
Describir los sucesos y todas las probabilidades que se mencionan utilizando una notación adecuada.0,5 pts
Si la profesora escoge un ejercicio al azar:
b
Calcular la probabilidad de que el ejercicio esté resuelto correctamente.1 pt
c
Sabiendo que el ejercicio es incorrecto, calcular la probabilidad de que lo haya resuelto Gloria.1 pt
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Formulario

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Distribución NormalF(x)=12π∫−∞xe−12t2 dtF(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{1}{2}t^2}\,dt
Curva de la distribución normal centrada en 0, con el área F(x) sombreada desde menos infinito hasta x y una línea vertical en x.
0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9014
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9318
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
3,50,99970,99970,99970,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999