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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2026

4 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a las cuatro preguntas. En la 1, responde a todos los apartados; en la 2, elige 2.1 o 2.2; en la 3, 3.1 o 3.2; y en la 4, 4.1 o 4.2.
Puntuación
Cada pregunta se puntúa hasta 2,5 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Material
Se permite calculadora que no sea gráfica ni programable y que no pueda realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria.
Además
Justifica todos los resultados y escribe todos los pasos del razonamiento. A partir de la tercera falta de ortografía se deducen 0,10 puntos por falta, hasta un máximo de 1 punto. Los errores de redacción, presentación, coherencia, cohesión, léxico y gramática pueden restar hasta 0,5 puntos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Probabilidad y estadística
En un país se ha detectado una enfermedad XX transmitida por el virus VirusX. Se sabe que la enfermedad la padece el 20%20\% de la población. Para detectarla, se usa un test de antígenos que, entre personas enfermas da positivo en el 90%90\% de los casos y entre personas sanas da positivo en el 5%5\% de los casos. Se pide: Responda a todos los apartados
1.1
Calcular la probabilidad de que, al realizar el test a una persona del país al azar, dicho test dé positivo.0,75 pts
1.2
Calcular la probabilidad de que una persona esté sana sabiendo que ha dado positivo en el test.0,75 pts
1.3
Si tomamos 88 personas de la población al azar, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo dos de ellas tengan la enfermedad?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Álgebra

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

El estado tensional en un punto de un sólido elástico se define a partir de una matriz cuadrada TT de orden 33. El vector tensión en la dirección de v=(xyz)v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} viene dado por u=Tvu=Tv. Para T=(2m0m20001) y u=(44−2),T=\begin{pmatrix}2&m&0\\m&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\text{ y }u=\begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix}, se pide:
2.1.1
Discutir el sistema de ecuaciones lineales Tv=uTv=u en función del parámetro real mm.1 pt
2.1.2
Resolver el sistema Tv=uTv=u para m=−1m=-1.0,75 pts
2.1.3
Se llaman tensiones principales de TT a los valores reales α\alpha tales que det⁡(T−αI)=0\det(T-\alpha I)=0, siendo II la matriz identidad. Calcular las tensiones principales para m=2m=2.0,75 pts
Decimos que una matriz cuadrada es ortogonal cuando su matriz inversa coincide con su matriz transpuesta. Se pide:
2.2.1
Comprobar que para todo valor real α\alpha la matriz A=(cos⁡(α)sin⁡(α)−sin⁡(α)cos⁡(α))A=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&\sin(\alpha)\\-\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{pmatrix} es ortogonal.0,75 pts
2.2.2
Determinar los valores de aa y bb para que la matriz B=(00a010b00)B=\begin{pmatrix}0&0&a\\0&1&0\\b&0&0\end{pmatrix} sea ortogonal. ¿Cuántas matrices ortogonales de esta forma existen?0,75 pts
2.2.3
Resuelve la ecuación matricial con incògnita XX BX+(100111)=(210210),BX+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\\1&0\end{pmatrix}, donde BB es una matriz ortogonal como la del apartado anterior.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Geometría

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

Dada la recta r:x2=y+1−1=z−11r:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1} y el plano π:2x+my+z−3=0\pi:2x+my+z-3=0, se pide:
3.1.1
El valor de mm para el que π\pi y rr son perpendiculares.0,5 pts
3.1.2
El valor de mm para el que π\pi y rr son paralelos.0,75 pts
3.1.3
Calcular, cuando sea posible, el punto de intersección entre π\pi y rr en función del parámetro real mm.1,25 pts
Consideramos la recta ss del espacio con ecuación: x−10=y−1=z−1−1.\frac{x-1}{0}=y-1=\frac{z-1}{-1}. Se pide:
3.2.1
Encontrar una ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1)(1, 1, 1) y es perpendicular a ss.0,5 pts
3.2.2
Encontrar los puntos de la recta ss que están a distancia 44 del origen.1 pt
3.2.3
Calcular el ángulo que forma la recta ss con el eje ZZ.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Análisis

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

Consideremos la función real de variable real f(x)=x+1x2+1f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}. Se pide:
4.1.1
Hallar el dominio y estudiar la continuidad de la función ff.0,5 pts
4.1.2
Hallar las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff.0,5 pts
4.1.3
Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función ff.1 pt
4.1.4
Representar la función ff.0,5 pts
Un decorador desea pintar una pared rectangular de 1212 metros de largo por 33 de alto. Para ello supone que la esquina inferior izquierda de la pared corresponde al origen de coordenadas de un plano y pinta en la pared la curva de ecuación f(x)=cos⁡(πx9)+2.f(x)=\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)+2. A continuación, el decorador colorea en rojo la parte de la pared que queda por encima de la curva y en verde la que queda por debajo. Se pide:
4.2.1
Dibujar la parte de la curva anterior que corresponde a la pared, detallando los cortes con los ejes, los extremos absolutos, y la monotonía de la función en el intervalo [0,12][0, 12].1,25 pts
4.2.2
Calcular el área de la pared que tiene color verde y la que tiene color rojo.1 pt
4.2.3
La parte verde se pinta usando botes de pintura capaces de cubrir 33 metros cuadrados cada uno. ¿Cuál es el mínimo número de botes que vamos a necesitar para pintar la parte verde?0,25 pts
Ver este ejercicio

Formulario

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Tabla de la distribución binomial (Bin⁡(n,p)\operatorname{Bin}(n,p))F(x)=P(X≤x)=∑k=0x(nk)pkqn−k\begin{aligned}&F(x)=P(X\leq x)=\\&\sum_{k=0}^{x}\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\end{aligned}
nnkkpp
0,010,050,100,200,250,301/31/30,350,400,450,50
100,99000,95000,90000,80000,75000,70000,66670,65000,60000,55000,5000
11,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
200,98010,90250,81000,64000,56250,49000,44440,42250,36000,30250,2500
10,99990,99750,99000,96000,93750,91000,88890,87750,84000,79750,7500
21,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
300,97030,85740,72900,51200,42190,34300,29630,27460,21600,16640,1250
10,99970,99280,97200,89600,84380,78400,74070,71830,64800,57480,5000
21,00000,99990,99900,99200,98440,97300,96300,95710,93600,90890,8750
31,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
400,96060,81450,65610,40960,31640,24010,19750,17850,12960,09150,0625
10,99940,98600,94770,81920,73830,65170,59260,56300,47520,39100,3125
21,00000,99950,99630,97280,94920,91630,88890,87350,82080,75850,6875
31,00001,00000,99990,99840,99610,99190,98770,98500,97440,95900,9375
41,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
500,95100,77380,59050,32770,23730,16810,13170,11600,07780,05030,0313
10,99900,97740,91850,73730,63280,52820,46090,42840,33700,25620,1875
21,00000,99880,99140,94210,89650,83690,79010,76480,68260,59310,5000
31,00001,00000,99950,99330,98440,96920,95470,94600,91300,86880,8125
41,00001,00001,00000,99970,99900,99760,99590,99470,98980,98150,9688
51,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
600,94150,73510,53140,26210,17800,11760,08780,07540,04670,02770,0156
10,99850,96720,88570,65540,53390,42020,35120,31910,23330,16360,1094
21,00000,99780,98420,90110,83060,74430,68040,64710,54430,44150,3438
31,00000,99990,99870,98300,96240,92950,89990,88260,82080,74470,6563
41,00001,00000,99990,99840,99540,98910,98220,97770,95900,93080,8906
51,00001,00001,00000,99990,99980,99930,99860,99820,99590,99170,9844
61,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
700,93210,69830,47830,20970,13350,08240,05850,04900,02800,01520,0078
10,99800,95560,85030,57670,44490,32940,26340,23380,15860,10240,0625
21,00000,99620,97430,85200,75640,64710,57060,53230,41990,31640,2266
31,00000,99980,99730,96670,92940,87400,82670,80020,71020,60830,5000
41,00001,00000,99980,99530,98710,97120,95470,94440,90370,84710,7734
51,00001,00001,00000,99960,99870,99620,99310,99100,98120,96430,9375
61,00001,00001,00001,00000,99990,99980,99950,99940,99840,99630,9922
71,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
800,92270,66340,43050,16780,10010,05760,03900,03190,01680,00840,0039
10,99730,94280,81310,50330,36710,25530,19510,16910,10640,06320,0352
20,99990,99420,96190,79690,67850,55180,46820,42780,31540,22010,1445
31,00000,99960,99500,94370,88620,80590,74140,70640,59410,47700,3633
41,00001,00000,99960,98960,97270,94200,91210,89390,82630,73960,6367
51,00001,00001,00000,99880,99580,98870,98030,97470,95020,91150,8555
61,00001,00001,00000,99990,99960,99870,99740,99640,99150,98190,9648
71,00001,00001,00001,00001,00000,99990,99980,99980,99930,99830,9961
81,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
900,91350,63020,38740,13420,07510,04040,02600,02070,01010,00460,0020
10,99660,92880,77480,43620,30030,19600,14310,12110,07050,03850,0195
20,99990,99160,94700,73820,60070,46280,37720,33730,23180,14950,0898
31,00000,99940,99170,91440,83430,72970,65030,60890,48260,36140,2539
41,00001,00000,99910,98040,95110,90120,85520,82830,73340,62140,5000
51,00001,00000,99990,99690,99000,97470,95760,94640,90060,83420,7461
61,00001,00001,00000,99970,99870,99570,99170,98880,97500,95020,9102
71,00001,00001,00001,00000,99990,99960,99900,99860,99620,99090,9805
81,00001,00001,00001,00001,00001,00000,99990,99990,99970,99920,9980
91,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
1000,90440,59870,34870,10740,05630,02820,01730,01350,00600,00250,0010
10,99570,91390,73610,37580,24400,14930,10400,08600,04640,02330,0107
20,99990,98850,92980,67780,52560,38280,29910,26160,16730,09960,0547
31,00000,99900,98720,87910,77590,64960,55930,51380,38230,26600,1719
41,00000,99990,99840,96720,92190,84970,78690,75150,63310,50440,3770
51,00001,00000,99990,99360,98030,95270,92340,90510,83380,73840,6230
61,00001,00001,00000,99910,99650,98940,98030,97400,94520,89800,8281
71,00001,00001,00000,99990,99960,99840,99660,99520,98770,97260,9453
81,00001,00001,00001,00001,00000,99990,99960,99950,99830,99550,9893
91,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00000,99990,99970,9990
101,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
1100,89530,56880,31380,08590,04220,01980,01160,00880,00360,00140,0005
10,99480,89810,69740,32210,19710,11300,07510,06060,03020,01390,0059
20,99980,98480,91040,61740,45520,31270,23410,20010,11890,06520,0327
31,00000,99840,98150,83890,71330,56960,47260,42560,29630,19110,1133
41,00000,99990,99720,94960,88540,78970,71100,66830,53280,39710,2744
51,00001,00000,99970,98830,96570,92180,87790,85130,75350,63310,5000
61,00001,00001,00000,99800,99240,97840,96140,94990,90060,82620,7256
71,00001,00001,00000,99980,99880,99570,99120,98780,97070,93900,8867
81,00001,00001,00001,00000,99990,99940,99860,99800,99410,98520,9673
91,00001,00001,00001,00001,00001,00000,99990,99980,99930,99780,9941
101,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00000,99980,9995
111,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000
1200,88640,54040,28240,06870,03170,01380,00770,00570,00220,00080,0002
10,99380,88160,65900,27490,15840,08500,05400,04240,01960,00830,0032
20,99980,98040,88910,55830,39070,25280,18110,15130,08340,04210,0193
31,00000,99780,97440,79460,64880,49250,39310,34670,22530,13450,0730
41,00000,99980,99570,92740,84240,72370,63150,58330,43820,30440,1938
51,00001,00000,99950,98060,94560,88220,82230,78730,66520,52690,3872
61,00001,00000,99990,99610,98570,96140,93360,91540,84180,73930,6128
71,00001,00001,00000,99940,99720,99050,98120,97450,94270,88830,8062
81,00001,00001,00000,99990,99960,99830,99610,99440,98470,96440,9270
91,00001,00001,00001,00001,00000,99980,99950,99920,99720,99210,9807
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