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la cuevadel empollón
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Matemáticas II · Canarias 2026

5 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a las tres preguntas obligatorias de los bloques 1, 2 y 3 y a dos opcionales de bloques diferentes: una del bloque 4 y otra del bloque 5.
Puntuación
La puntuación de cada pregunta o apartado figura en el enunciado.
Material
Cualquier calculadora científica, no programable ni con conexión a internet.
Además
Si respondes a dos preguntas de un mismo bloque opcional, solo se corrige la primera. Detalla y explica los procedimientos empleados: se califica todo el proceso.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Bloque 1Análisis I (Quesos El Time)
En la elaboración artesanal del queso “El Time” de La Palma, las bacterias lácticas transforman de manera natural la lactosa de la leche cruda en ácido láctico. Esta concentración de ácido no puede crecer indefinidamente, ya que niveles muy altos de acidez acaban inhibiendo la propia actividad bacteriana, lo que estabiliza el proceso. La concentración de ácido láctico en el suero, medida en gramos por litro (g/L\text{g/L}), se modeliza mediante la siguiente función logística, donde tt es el tiempo transcurrido en días desde el inicio del proceso:C(t)=121+9⋅e−0,6tC(t) = \frac{12}{1 + 9 \cdot e^{-0{,}6t}}
a
Calcular la concentración de ácido láctico al inicio del proceso.0,25 pts
b
Calcular la tasa de variación media entre el día 00 y el día 55. Sabiendo que la tasa de variación media entre el día 55 y el día 1010 es de 0,69 g/L0{,}69\,\text{g/L} por día, ¿qué información se deduce de ambas tasas?0,5 pts
c
Calcular el valor al que tiende la concentración de ácido láctico con el paso del tiempo. Interpretar el resultado en el contexto del problema.0,5 pts
d
Justificar que no existe ningún periodo de tiempo en el que la concentración de ácido láctico disminuya.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Bloque 2Álgebra
Dadas las matrices A=(110101010)A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} y B=(1−2−1−1601−11)B = \begin{pmatrix}1 & -2 & -1 \\ -1 & 6 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix} Resolver la ecuación: A⋅X+B=I3A \cdot X + B = I_3 Donde I3I_3 es la matriz identidad de orden 33.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Bloque 3Geometría
En el espacio tridimensional, se consideran las rectas siguientes:r:{x+y+z=1x−y+z=3;s:x−1=y−22=z−1\begin{gathered}r: \begin{cases}x + y + z = 1 \\ x - y + z = 3\end{cases};\\[6pt]s: x - 1 = \frac{y - 2}{2} = z - 1\end{gathered}
a
Determinar si las rectas rr y ss son perpendiculares.0,75 pts
b
Averiguar si las rectas rr y ss son coplanarias.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Bloque 4Análisis II

seleccione solo una pregunta

Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función:f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x - 1}¿Existe algún punto de inflexión? Justificar la respuesta.
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seleccione solo una pregunta

Dada la función f(x)=ln⁡(x2+1)12x2+3x3f(x) = \frac{\ln(x^2 + 1)}{12x^2 + 3x^3}, se pide resolver los siguientes apartados:
a
Dominio de f(x)f(x)0,75 pts
b
lim⁡x→0f(x)\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Bloque 5Probabilidad

seleccione solo una pregunta

En una plataforma de streaming se ha observado que el 30%30\% de los usuarios que comienzan a ver una serie continúan con el segundo episodio el mismo día. Se supone que el comportamiento de cada usuario es independiente del resto y que dicha probabilidad se mantiene constante.
a
En un determinado día, 1212 usuarios comienzan a ver una serie. Calcular la probabilidad de que al menos 22 usuarios continúen con el segundo episodio ese mismo día.1 pt
b
Elegido un día al azar se observa que 4040 usuarios comienzan a ver la serie. Calcular la probabilidad de que, como mucho, 99 usuarios continúen con el segundo episodio ese mismo día.1 pt
Curva de la normal tipificada, con marcas de −4 a 4 y el área a la izquierda de x sombreada, rotulada F(x) = P(Z ≤ x).
000,010{,}010,020{,}020,030{,}030,040{,}040,050{,}050,060{,}060,070{,}070,080{,}080,090{,}09
000,50000{,}50000,50400{,}50400,50800{,}50800,51200{,}51200,51600{,}51600,51990{,}51990,52390{,}52390,52790{,}52790,53190{,}53190,53590{,}5359
0,10{,}10,53980{,}53980,54380{,}54380,54780{,}54780,55170{,}55170,55570{,}55570,55960{,}55960,56360{,}56360,56750{,}56750,57140{,}57140,57530{,}5753
0,20{,}20,57930{,}57930,58320{,}58320,58710{,}58710,59100{,}59100,59480{,}59480,59870{,}59870,60260{,}60260,60640{,}60640,61030{,}61030,61410{,}6141
0,30{,}30,61790{,}61790,62170{,}62170,62550{,}62550,62930{,}62930,63310{,}63310,63680{,}63680,64060{,}64060,64430{,}64430,64800{,}64800,65170{,}6517
0,40{,}40,65540{,}65540,65910{,}65910,66280{,}66280,66640{,}66640,67000{,}67000,67360{,}67360,67720{,}67720,68080{,}68080,68440{,}68440,68790{,}6879
0,50{,}50,69150{,}69150,69500{,}69500,69850{,}69850,70190{,}70190,70540{,}70540,70880{,}70880,71230{,}71230,71570{,}71570,71900{,}71900,72240{,}7224
0,60{,}60,72570{,}72570,72910{,}72910,73240{,}73240,73570{,}73570,73890{,}73890,74220{,}74220,74540{,}74540,74860{,}74860,75170{,}75170,75490{,}7549
0,70{,}70,75800{,}75800,76110{,}76110,76420{,}76420,76730{,}76730,77040{,}77040,77340{,}77340,77640{,}77640,77940{,}77940,78230{,}78230,78520{,}7852
0,80{,}80,78810{,}78810,79100{,}79100,79390{,}79390,79670{,}79670,79950{,}79950,80230{,}80230,80510{,}80510,80780{,}80780,81060{,}81060,81330{,}8133
0,90{,}90,81590{,}81590,81860{,}81860,82120{,}82120,82380{,}82380,82640{,}82640,82890{,}82890,83150{,}83150,83400{,}83400,83650{,}83650,83890{,}8389
110,84130{,}84130,84380{,}84380,84610{,}84610,84850{,}84850,85080{,}85080,85310{,}85310,85540{,}85540,85770{,}85770,85990{,}85990,86210{,}8621
1,11{,}10,86430{,}86430,86650{,}86650,86860{,}86860,87080{,}87080,87290{,}87290,87490{,}87490,87700{,}87700,87900{,}87900,88100{,}88100,88300{,}8830
1,21{,}20,88490{,}88490,88690{,}88690,88880{,}88880,89070{,}89070,89250{,}89250,89440{,}89440,89620{,}89620,89800{,}89800,89970{,}89970,90150{,}9015
1,31{,}30,90320{,}90320,90490{,}90490,90660{,}90660,90820{,}90820,90990{,}90990,91150{,}91150,91310{,}91310,91470{,}91470,91620{,}91620,91770{,}9177
1,41{,}40,91920{,}91920,92070{,}92070,92220{,}92220,92360{,}92360,92510{,}92510,92650{,}92650,92790{,}92790,92920{,}92920,93060{,}93060,93190{,}9319
1,51{,}50,93320{,}93320,93450{,}93450,93570{,}93570,93700{,}93700,93820{,}93820,93940{,}93940,94060{,}94060,94180{,}94180,94290{,}94290,94410{,}9441
1,61{,}60,94520{,}94520,94630{,}94630,94740{,}94740,94840{,}94840,94950{,}94950,95050{,}95050,95150{,}95150,95250{,}95250,95350{,}95350,95450{,}9545
1,71{,}70,95540{,}95540,95640{,}95640,95730{,}95730,95820{,}95820,95910{,}95910,95990{,}95990,96080{,}96080,96160{,}96160,96250{,}96250,96330{,}9633
1,81{,}80,96410{,}96410,96490{,}96490,96560{,}96560,96640{,}96640,96710{,}96710,96780{,}96780,96860{,}96860,96930{,}96930,96990{,}96990,97060{,}9706
1,91{,}90,97130{,}97130,97190{,}97190,97260{,}97260,97320{,}97320,97380{,}97380,97440{,}97440,97500{,}97500,97560{,}97560,97610{,}97610,97670{,}9767
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seleccione solo una pregunta

Una empresa farmacéutica fabrica cápsulas de un determinado medicamento. Bajo la configuración y calibración actuales de la máquina de llenado, se ha comprobado, mediante controles de calidad, que la cantidad de principio activo (expresada en miligramos) que contiene cada cápsula sigue una distribución normal de media 500 mg500\,\text{mg} y desviación típica 12 mg12\,\text{mg}.
a
Calcular la probabilidad de que una cápsula, elegida al azar, contenga entre 488 mg488\,\text{mg} y 515 mg515\,\text{mg} de principio activo.1 pt
b
Se considera que una cápsula es defectuosa cuando contiene menos de 477 mg477\,\text{mg} o más de 523 mg523\,\text{mg} de principio activo. Como medida de control de calidad, la empresa deberá recalibrar la máquina y actualizar los parámetros del modelo estadístico en caso de registrar un 3%3\% o más de cápsulas defectuosas. ¿Será necesario llevar a cabo la calibración de la máquina?1 pt
Curva de la normal tipificada, con marcas de −4 a 4 y el área a la izquierda de x sombreada, rotulada F(x) = P(Z ≤ x).
000,010{,}010,020{,}020,030{,}030,040{,}040,050{,}050,060{,}060,070{,}070,080{,}080,090{,}09
000,50000{,}50000,50400{,}50400,50800{,}50800,51200{,}51200,51600{,}51600,51990{,}51990,52390{,}52390,52790{,}52790,53190{,}53190,53590{,}5359
0,10{,}10,53980{,}53980,54380{,}54380,54780{,}54780,55170{,}55170,55570{,}55570,55960{,}55960,56360{,}56360,56750{,}56750,57140{,}57140,57530{,}5753
0,20{,}20,57930{,}57930,58320{,}58320,58710{,}58710,59100{,}59100,59480{,}59480,59870{,}59870,60260{,}60260,60640{,}60640,61030{,}61030,61410{,}6141
0,30{,}30,61790{,}61790,62170{,}62170,62550{,}62550,62930{,}62930,63310{,}63310,63680{,}63680,64060{,}64060,64430{,}64430,64800{,}64800,65170{,}6517
0,40{,}40,65540{,}65540,65910{,}65910,66280{,}66280,66640{,}66640,67000{,}67000,67360{,}67360,67720{,}67720,68080{,}68080,68440{,}68440,68790{,}6879
0,50{,}50,69150{,}69150,69500{,}69500,69850{,}69850,70190{,}70190,70540{,}70540,70880{,}70880,71230{,}71230,71570{,}71570,71900{,}71900,72240{,}7224
0,60{,}60,72570{,}72570,72910{,}72910,73240{,}73240,73570{,}73570,73890{,}73890,74220{,}74220,74540{,}74540,74860{,}74860,75170{,}75170,75490{,}7549
0,70{,}70,75800{,}75800,76110{,}76110,76420{,}76420,76730{,}76730,77040{,}77040,77340{,}77340,77640{,}77640,77940{,}77940,78230{,}78230,78520{,}7852
0,80{,}80,78810{,}78810,79100{,}79100,79390{,}79390,79670{,}79670,79950{,}79950,80230{,}80230,80510{,}80510,80780{,}80780,81060{,}81060,81330{,}8133
0,90{,}90,81590{,}81590,81860{,}81860,82120{,}82120,82380{,}82380,82640{,}82640,82890{,}82890,83150{,}83150,83400{,}83400,83650{,}83650,83890{,}8389
110,84130{,}84130,84380{,}84380,84610{,}84610,84850{,}84850,85080{,}85080,85310{,}85310,85540{,}85540,85770{,}85770,85990{,}85990,86210{,}8621
1,11{,}10,86430{,}86430,86650{,}86650,86860{,}86860,87080{,}87080,87290{,}87290,87490{,}87490,87700{,}87700,87900{,}87900,88100{,}88100,88300{,}8830
1,21{,}20,88490{,}88490,88690{,}88690,88880{,}88880,89070{,}89070,89250{,}89250,89440{,}89440,89620{,}89620,89800{,}89800,89970{,}89970,90150{,}9015
1,31{,}30,90320{,}90320,90490{,}90490,90660{,}90660,90820{,}90820,90990{,}90990,91150{,}91150,91310{,}91310,91470{,}91470,91620{,}91620,91770{,}9177
1,41{,}40,91920{,}91920,92070{,}92070,92220{,}92220,92360{,}92360,92510{,}92510,92650{,}92650,92790{,}92790,92920{,}92920,93060{,}93060,93190{,}9319
1,51{,}50,93320{,}93320,93450{,}93450,93570{,}93570,93700{,}93700,93820{,}93820,93940{,}93940,94060{,}94060,94180{,}94180,94290{,}94290,94410{,}9441
1,61{,}60,94520{,}94520,94630{,}94630,94740{,}94740,94840{,}94840,94950{,}94950,95050{,}95050,95150{,}95150,95250{,}95250,95350{,}95350,95450{,}9545
1,71{,}70,95540{,}95540,95640{,}95640,95730{,}95730,95820{,}95820,95910{,}95910,95990{,}95990,96080{,}96080,96160{,}96160,96250{,}96250,96330{,}9633
1,81{,}80,96410{,}96410,96490{,}96490,96560{,}96560,96640{,}96640,96710{,}96710,96780{,}96780,96860{,}96860,96930{,}96930,96990{,}96990,97060{,}9706
1,91{,}90,97130{,}97130,97190{,}97190,97260{,}97260,97320{,}97320,97380{,}97380,97440{,}97440,97500{,}97500,97560{,}97560,97610{,}97610,97670{,}9767
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