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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2018

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cinco ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 4 primeros ejercicios se puntuarán sobre un máximo de 2,25 puntos, y el quinto ejercicio sobre un máximo de 1 punto. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro λ\lambda:{λx+z=1x+y+λz=1x−y+z=1\begin{cases} \lambda x + z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \\ x - y + z = 1 \end{cases}1,2 pts
b
Resolverlo para λ=1\lambda = 1.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Determinar la recta ss que es simétrica de r≡x+2=y=z−2r \equiv x + 2 = y = z - 2, respecto del plano π≡x−z+2=0\pi \equiv x - z + 2 = 0.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=3x4+x3−1f(x) = 3x^4 + x^3 - 1, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y el número total de puntos en los que f(x)f(x) se anula.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)=xcos⁡xf(x) = x \cos x y el eje de las xx, cuando xx pertenece al intervalo [0,π2][0, \frac{\pi}{2}].
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Ejercicio 5

5
2 puntos
a
Se tira una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de que, sin tener en cuenta el orden, salgan una cara y dos cruces.1 pt
b
Una persona elige al azar, sin verlas, dos cartas de una baraja española (de 40 cartas, de las cuales 10 son de cada uno de los 4 palos: oros, copas, espadas y bastos). Calcular la probabilidad de que ninguna de las dos cartas elegidas sea de copas.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las matrices A=(1225)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, B=(1011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y M=(11ab)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}, calcúlense aa y bb para que se verifiquen ∣MA∣=2|MA| = 2 y ∣M+B∣=3|M + B| = 3, donde se está usando la notación habitual (con barras verticales) para denotar al determinante de una matriz.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la recta r≡x−1=y+12=z−1r \equiv x - 1 = \frac{y + 1}{2} = z - 1 y el plano π≡x−y+z=0\pi \equiv x - y + z = 0, se pide:
a
Determinar la posición relativa de rr y π\pi.0,8 pts
b
Hallar el plano paralelo a π\pi situado a la misma distancia de rr que π\pi.1,2 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}, determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcular lim⁡x→0ex−cos⁡xln⁡(1+x)\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\ln(1 + x)}.1 pt
b
Calcular ∫(ln⁡x)2xdx\int \frac{(\ln x)^2}{x} dx.1 pt
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Ejercicio 5

5
1 punto
La variable aleatoria IMC (índice de masa corporal, de modo abreviado) de las personas adultas de un determinado país sigue una distribución normal de media 26 y desviación típica de 6. Si tener un IMC superior a 35 significa ser obeso, encontrar la proporción de personas adultas obesas de ese país.
Datos
  • Media μ=26\mu = 26
  • Desviación típica σ=6\sigma = 6
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
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