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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2010

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Si rr es la recta que pasa por el punto P=(1,−1,1)P = (1, -1, 1) y tiene como vector director (1,2,−2)(1, 2, -2), ¿existe algún valor de aa para el cual la recta rr está contenida en el plano 2x+3y+4z=a2x + 3y + 4z = a? En caso afirmativo, encuentra el valor de aa. En caso negativo, razona tu respuesta.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Halla el valor de aa para que la función f(x)=x2+x+a3x+1f(x) = \frac{x^2 + x + a}{3x + 1} verifique f′(1)=0f'(1) = 0.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Calcula ∫2xx2+5dx\int \frac{2x}{x^2 + 5} dx.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Calcula los siguientes límites:lim⁡x→0x−sen⁡(x)xsen⁡(x);lim⁡x→+∞2x+xex\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sen(x)}{x \sen(x)}; \quad \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2^x + x}{e^x}
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Discute y resuelve, según los valores de aa, el siguiente sistema de ecuaciones:{x−y+z=ax+y+z=13x−3y+az=a\begin{cases} x - y + z = a \\ x + y + z = 1 \\ 3x - 3y + az = a \end{cases}
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Si rr es la recta que pasa por el punto P=(1,−1,1)P = (1, -1, 1) y tiene como vector director (1,2,−2)(1, 2, -2), ¿existe algún valor de aa para el cual la recta rr está contenida en el plano 2x+3y+4z=a2x + 3y + 4z = a? En caso afirmativo, encuentra el valor de aa. En caso negativo, razona tu respuesta.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Halla el valor de aa para que la función f(x)=x2+x+a3x+1f(x) = \frac{x^2 + x + a}{3x + 1} verifique f′(1)=0f'(1) = 0.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Calcula ∫2xx2+5dx\int \frac{2x}{x^2 + 5} dx.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Determina los valores de aa y bb para que los puntos P=(1,0,1)P = (1, 0, 1) y Q=(13,a,b)Q = (\frac{1}{3}, a, b) sean simétricos respecto del plano x−y+z=1x - y + z = 1. (Recuerda que: dos puntos se dicen simétricos respecto de un plano si están en una recta perpendicular al plano y a la misma distancia de éste.)
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Para la función ln⁡(x2−9)\ln(x^2 - 9), calcula su dominio, sus asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y puntos de inflexión. Haz su representación gráfica.
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