Matemáticas II · Galicia 2022

Números y Álgebra Despeje X de la ecuación matricial AB(X − I) = C, donde I es la matriz identidad (asuma que el producto AB tiene inversa). Luego, calcule X si A = [[1, 2, 3], [0, 1, 0], [0, 0, 1]], B = [[1, 2, 0], [0, 1, 0], [1, 0, 2]] y C = [[2, 2, 4], [0, 0, 1], [0, 1, 0]].

Números y Álgebra Discuta, según los valores del parámetro m, el sistema {x + (m − 3)y + mz = 1; (m − 3)y + (m² − m)z = 1; x + m²z = 0}.

Análisis a) Calcule los límites lim(x→0) (x cos x)/(sin x) y lim(x→0⁺) x ln x, donde ln x es el logaritmo neperiano de x. b) Dibuje la gráfica de una función f continua y no negativa en el intervalo [0, 3] tal que: f(0) = 0, f(3) = 0, f'' > 0 en el intervalo (0, 1), f'' < 0 en el intervalo (2, 3) y f es constante en el intervalo (1, 2).

Análisis Obtenga la función f, sabiendo que f''(x) = 2x − e^(−x) y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es y = 3x − 1.

Geometría a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano π que pasa por el punto P(1, −1, 0) y es perpendicular a la recta r: {x = 1 + λ; y = −1; z = 0}, λ ∈ ℝ. b) Calcule los dos puntos de la recta r: {x = λ; y = λ; z = λ}, λ ∈ ℝ, cuya distancia al plano π: x − 1 = 0 es igual a 2.

Geometría a) Halle los valores de k y de m que hacen que los puntos A(k, 3, m), B(2, 0, 2) y C(k, 2, 0) estén alineados. b) Estudie la posición relativa de las rectas r: (x − 1)/2 = (y + 1)/3 = (z − 2)/2 y s: (x + 2)/3 = (y + 3)/2 = (z + 1)/3. Si se cortan, calcule el punto de corte.

Estadística y Probabilidad a) Si P(A ∪ B) = 1/3 y P(B) = 1/4, calcule P(A) sabiendo que A y B son sucesos incompatibles. ¿Cuánto valdría P(A) si supusiésemos que A y B son, en lugar de incompatibles, independientes? b) En una cierta ciudad, el 21% de las personas leen ciencia ficción, el 63% leen novela negra, y el 17% leen tanto ciencia ficción como novela negra. Si se elige al azar una persona de esa ciudad, calcule: • La probabilidad de que lea novela negra sabiendo que lee ciencia ficción. • La probabilidad de que no lea ni ciencia ficción ni novela negra.

Estadística y Probabilidad a) Calcule el valor de P(−2 ≤ X ≤ 7) si X sigue una distribución normal de media 1 y desviación típica 3. b) Calcule el valor de α que hace que P(μ − α ≤ X ≤ μ + α) = 0.8064 si X sigue una distribución normal de media μ y desviación típica 4.