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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2011

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1,5 puntos
Dada la ecuación matricial: I+3⋅X+A⋅X=BI + 3 \cdot X + A \cdot X = B. Se pide:
a
Resuelve matricialmente la ecuación.0,75 pts
b
Si A=(3071)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}, calcula la matriz XX que cumple A⋅X=IA \cdot X = I, donde II es la matriz identidad de orden 2.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Queremos invertir una cantidad de dinero en dos tipos de acciones y queremos que: la cantidad invertida en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros, la cantidad invertida en acciones de tipo B no puede superar los 12000 euros y la suma de las cantidades invertidas no pueden exceder de 15000 euros. El interés anual estimado por las acciones de tipo A es del 10%10\% y el ofrecido por las acciones de tipo B es del 11%11\%.
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo mayor posible.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
En una tienda de ropa figura la siguiente información: Tres pantalones cuestan lo mismo que una camisa y cuatro jerseys. Cinco pantalones cuestan lo mismo que cinco camisas y cuatro jerseys. Un pantalón, una camisa y un jersey cuestan 85 euros. Se pide:
a
Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.1,5 pts
b
Determina el precio de un pantalón, de una camisa y de un jersey.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Al 50%50\% del total de los alumnos de una clase les gusta sólo el fútbol, al 20%20\% del total les gusta sólo el baloncesto y el resto, que son 6 alumnos, no les gustan estos deportes. Se pide:
a
Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.1,5 pts
b
Calcula el total de alumnos y el número de los aficionados al fútbol y al baloncesto.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Sea la función:f(x)={(x+1)2+1si x≤0∣x−1∣+1si x>0f(x) = \begin{cases} (x + 1)^2 + 1 & \text{si } x \leq 0 \\ |x - 1| + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Continuidad en x=0x = 0.0,5 pts
b
Extremos relativos en el intervalo (−2,2)(-2, 2).1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={−x2−6x−8,si x≤−20,si −2<x≤2x2−6x+8,si x>2f(x) = \begin{cases} -x^2 - 6x - 8, & \text{si } x \leq -2 \\ 0, & \text{si } -2 < x \leq 2 \\ x^2 - 6x + 8, & \text{si } x > 2 \end{cases}. Se pide:
a
Límites laterales de la función ff en el punto x=−2x = -2.0,5 pts
b
Representación gráfica de la función ff.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
La función f(x)=2x2+ax+bf(x) = 2x^2 + ax + b tiene un mínimo en el punto (2,−5)(2, -5). Se pide:
a
Determina el valor de "a" y de "b".1 pt
b
Para los valores hallados en el apartado anterior, escribe el intervalo en donde la función es creciente.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
La temperatura TT, en grados centígrados, de una reacción química viene dada en función del tiempo tt, en horas, por la expresión T(t)=10t(3−t)T(t) = 10t(3 - t), en donde 0≤t≤30 \leq t \leq 3. Se pide:
a
Temperatura que habrá a los 30 minutos de comenzada la reacción.0,25 pts
b
¿En qué momento se alcanza la máxima temperatura y cuál es ésta?1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
En una empresa se producen dos tipos de sillas: A y B, en una proporción de 1 a 3, respectivamente. La probabilidad de que una silla tipo A sea defectuosa es 0,020{,}02 y de que una silla de tipo B sea defectuosa es 0,090{,}09.
a
¿Cuál es la proporción de sillas defectuosas?0,75 pts
b
Se escoge al azar una silla y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
Según un estudio, el 40%40\% de los hogares europeos tienen contratado acceso a internet, el 33%33\% tiene contratada televisión por cable, y el 20%20\% disponen de ambos servicios.
a
Si elegimos un hogar al azar y tiene televisión por cable, ¿cuál es la probabilidad de que tenga acceso a internet?0,75 pts
b
Se selecciona un hogar europeo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra es de 50 segundos. Se pide:
Datos
  • "σ=10""\sigma = 10"
  • n=100n = 100
  • xˉ=50\bar{x} = 50
a
Calcular un intervalo de confianza al 97%97\% para la duración media de las llamadas.1 pt
b
Interpretar el significado del intervalo obtenido.0,5 pts
c
¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la encuesta se hubiera realizado con 100 llamadas de un único empleado?. Razona tu respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Se ha extraído una muestra de 10 familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 19987, 20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de desviación típica 150 euros.
Datos
  • "σ=150""\sigma = 150"
  • n=10n = 10
a
Encontrar el intervalo de confianza al 95%95\% para la renta familiar media.1 pt
b
Interpretar el significado del intervalo obtenido.0,5 pts
c
¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si la muestra se hubiera elegido entre las familias con más ingresos del barrio?. Razona tu respuesta.0,5 pts
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