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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2026

3 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a uno de los problemas 1.1 y 1.2, a las dos cuestiones del ejercicio 2 y a dos de los problemas 3.1, 3.2 y 3.3.
Puntuación
La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.

Ejercicio 1.1 o 1.2

1.1o1.2
3 puntos
Apartado 1Bloques A+C

Responder a uno de los siguientes problemas (1.1, 1.2):

En una industria alimentaria se planifica la supervisión que se va a realizar a los lotes producidos el próximo mes. Se han establecido dos protocolos de revisión, la revisión normal y la exhaustiva. Los recursos humanos y materiales de esa supervisión limitan el número de lotes que se pueden revisar. Se sabe que una revisión exhaustiva de un lote consume 66 horas del departamento de envasado y 22 horas en el de etiquetado, mientras que una revisión normal de un lote consume 33 horas del departamento de envasado y 1,51{,}5 horas en el de etiquetado. En esta planificación de la supervisión se fija que, como mínimo, 55 revisiones deben ser exhaustivas y, al menos la mitad, con el protocolo normal. Se disponen de un máximo de 180180 horas en el departamento de envasado y un máximo de 8080 horas en el de etiquetado.
a
Determinar el sistema de restricciones y representar la región factible, utilizando técnicas de programación lineal.1,5 pts
b
Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar con los recursos disponibles, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo.1,5 pts
Ver este ejercicio

Responder a uno de los siguientes problemas (1.1, 1.2):

En una industria alimentaria se planifica la supervisión que se va a realizar a los lotes producidos el próximo mes. Se han establecido dos protocolos de revisión, la revisión normal y la exhaustiva. Los recursos humanos y materiales de esa supervisión limitan el número de lotes que se pueden revisar. En la siguiente figura se muestra sombreada la región factible de un problema de programación lineal planteado para decidir el número de revisiones normales y el número de revisiones exhaustivas.
Región sombreada en unos ejes x e y, con cuadrícula y las rectas rotuladas 3x + 6y = 220, 2x + 1,5y = 120, 2x − 5y = 5 e y = 7.
a
Escribir matemáticamente el conjunto de restricciones que corresponden a este problema. Escribir una solución de la región factible y otra de fuera de la región factible.1,5 pts
b
Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, y teniendo en cuenta la región factible dada en el apartado anterior, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
Apartado 2Bloque B
Un centro deportivo permanece abierto las 2424 horas del día. Para modelizar la afluencia de usuarios de un día determinado, se define la función f(t)f(t) que indica el número aproximado de personas dentro del centro a la hora tt, con 0≤t≤240\leq t\leq 24:f(t)={10+2t2+asi0≤t<6130−(t−12)2si6≤t<1880−12t2+9t+bsi18≤t≤24f(t)=\begin{cases}\begin{aligned}&10+2t^2+a \\ &\text{si}\quad 0\leq t<6\end{aligned} \\ \begin{aligned}&130-(t-12)^2 \\ &\text{si}\quad 6\leq t<18\end{aligned} \\ \begin{aligned}&80-\frac{1}{2}t^2+9t+b \\ &\text{si}\quad 18\leq t\leq 24\end{aligned}\end{cases}Responder a las siguientes cuestiones (2.1, 2.2):
2.1
Determinar el valor de aa y bb para que la función anterior sea continua.1,5 pts
2.2
Si a=b=0a=b=0, ¿en qué momento del día se encuentran 105105 personas dentro del centro deportivo según esta función? ¿A qué hora del día se produce la máxima afluencia y cuántos usuarios estaban en su interior?1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
Apartado 3Bloque D

Responder a dos de los siguientes problemas (3.1, 3.2, 3.3):

Se ha realizado un estudio sobre los estudiantes de un Instituto de Educación Secundaria, recogiéndose distinta información, que se presenta a continuación.
3.1
De los 10001000 estudiantes matriculados en el instituto, 450450 son hombres, de los cuales un 12 %12\,\% son repetidores, mientras que, entre las mujeres, hay un 10 %10\,\% de repetidoras.
a
Escribir la información anterior en términos de sucesos y sus probabilidades asociadas. Hallar el porcentaje de estudiantes repetidores en el instituto.1 pt
b
Si se selecciona una persona repetidora, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?1 pt
3.2
El equipo de profesores de Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II ha calculado que el tiempo invertido por los estudiantes en hacer un examen sigue una distribución normal de media 100100 minutos y desviación típica igual a 1010 minutos.
a
¿Qué proporción de estudiantes realiza el examen en más de dos horas?1 pt
b
¿Cuánto tiempo tarda un estudiante en hacer el examen si el 88,1%88{,}1\% de sus compañeros tardan menos que él?1 pt
3.3
La dirección del instituto desea conocer cuál es el rendimiento medio de sus alumnos. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 100100 expedientes de estudiantes, obteniendo una calificación media muestral de 6,56{,}5 puntos. Asumiendo que la calificación sigue una distribución normal de media μ\mu y desviación igual a 11 punto, se pide:
a
¿Entre qué valores se encuentra la calificación media μ\mu de los estudiantes del instituto, con un nivel de confianza del 98%98\%?1 pt
b
Para un nivel de confianza del 99%99\%, ¿qué tamaño de muestra sería necesario para que el error cometido al estimar la media poblacional μ\mu no sea superior a los 0,50{,}5 puntos?1 pt
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Formulario

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Distribución NormalF(x)=12π∫−∞xe−12t2 dtF(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2}\,dt
Campana de la distribución normal rotulada F(x), con el área sombreada desde menos infinito hasta x, situado a la derecha de 0.
0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9014
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9318
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
3,50,99970,99970,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
Distribución Binomialp(X=r)=(nr)pr(1−p)n−rp(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}
nnpp0,010,050,100,150,200,250,301/31/30,350,400,450,490,50
rr
200,98010,90250,81000,72250,64000,56250,49000,44440,42250,36000,30250,26010,2500
10,01980,09500,18000,25500,32000,37500,42000,44440,45500,48000,49500,49980,5000
20,00010,00250,01000,02250,04000,06250,09000,11110,12250,16000,20250,24010,2500
300,97030,85740,72900,61410,51200,42190,34300,29630,27460,21600,16640,13270,1250
10,02940,13540,24300,32510,38400,42190,44100,44440,44360,43200,40840,38230,3750
20,00030,00710,02700,05740,09600,14060,18900,22220,23890,28800,33410,36740,3750
30,00000,00010,00100,00340,00800,01560,02700,03700,04290,06400,09110,11760,1250
400,96060,81450,65610,52200,40960,31640,24010,19750,17850,12960,09150,06770,0625
10,03880,17150,29160,36850,40960,42190,41160,39510,38450,34560,29950,26000,2500
20,00060,01350,04860,09750,15360,21090,26460,29630,31050,34560,36750,37470,3750
30,00000,00050,00360,01150,02560,04690,07560,09880,11150,15360,20050,24000,2500
40,00000,00000,00010,00050,00160,00390,00810,01230,01500,02560,04100,05760,0625
500,95100,77380,59050,44370,32770,23730,16810,13170,11600,07780,05030,03450,0313
10,04800,20360,32810,39150,40960,39550,36020,32920,31240,25920,20590,16570,1563
20,00100,02140,07290,13820,20480,26370,30870,32920,33640,34560,33690,31850,3125
30,00000,00110,00810,02440,05120,08790,13230,16460,18110,23040,27570,30600,3125
40,00000,00000,00050,00220,00640,01460,02840,04120,04880,07680,11280,14700,1563
50,00000,00000,00000,00010,00030,00100,00240,00410,00530,01020,01850,02820,0313
600,94150,73510,53140,37710,26210,17800,11760,08780,07540,04670,02770,01760,0156
10,05710,23210,35430,39930,39320,35600,30250,26340,24370,18660,13590,10140,0938
20,00140,03050,09840,17620,24580,29660,32410,32920,32800,31100,27800,24360,2344
30,00000,00210,01460,04150,08190,13180,18520,21950,23550,27650,30320,31210,3125
40,00000,00010,00120,00550,01540,03300,05950,08230,09510,13820,18610,22490,2344
50,00000,00000,00010,00040,00150,00440,01020,01650,02050,03690,06090,08640,0938
60,00000,00000,00000,00000,00010,00020,00070,00140,00180,00410,00830,01380,0156
700,93210,69830,47830,32060,20970,13350,08240,05850,04900,02800,01520,00900,0078
10,06590,25730,37200,39600,36700,31150,24710,20480,18480,13060,08720,06040,0547
20,00200,04060,12400,20970,27530,31150,31770,30730,29850,26130,21400,17400,1641
30,00000,00360,02300,06170,11470,17300,22690,25610,26790,29030,29180,27860,2734
40,00000,00020,00260,01090,02870,05770,09720,12800,14420,19350,23880,26760,2734
50,00000,00000,00020,00120,00430,01150,02500,03840,04660,07740,11720,15430,1641
60,00000,00000,00000,00010,00040,00130,00360,00640,00840,01720,03200,04940,0547
70,00000,00000,00000,00000,00000,00010,00020,00050,00060,00160,00370,00680,0078
800,92270,66340,43050,27250,16780,10010,05760,03900,03190,01680,00840,00460,0039
10,07460,27930,38260,38470,33550,26700,19770,15610,13730,08960,05480,03520,0313
20,00260,05150,14880,23760,29360,31150,29650,27310,25870,20900,15690,11830,1094
30,00010,00540,03310,08390,14680,20760,25410,27310,27860,27870,25680,22730,2188
40,00000,00040,00460,01850,04590,08650,13610,17070,18750,23220,26270,27300,2734
50,00000,00000,00040,00260,00920,02310,04670,06830,08080,12390,17190,20980,2188
60,00000,00000,00000,00020,00110,00380,01000,01710,02170,04130,07030,10080,1094
70,00000,00000,00000,00000,00010,00040,00120,00240,00330,00790,01640,02770,0313
80,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00010,00020,00020,00070,00170,00330,0039
900,91350,63020,38740,23160,13420,07510,04040,02600,02070,01010,00460,00230,0020
10,08300,29850,38740,36790,30200,22530,15560,11710,10040,06050,03390,02020,0176
20,00340,06290,17220,25970,30200,30030,26680,23410,21620,16120,11100,07760,0703
30,00010,00770,04460,10690,17620,23360,26680,27310,27160,25080,21190,17390,1641
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50,00000,00000,00080,00500,01650,03890,07350,10240,11810,16720,21280,24080,2461
60,00000,00000,00010,00060,00280,00870,02100,03410,04240,07430,11600,15420,1641
70,00000,00000,00000,00000,00030,00120,00390,00730,00980,02120,04070,06350,0703
80,00000,00000,00000,00000,00000,00010,00040,00090,00130,00350,00830,01530,0176
90,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000,00010,00010,00030,00080,00160,0020
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