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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
BLOQUE ABloque a

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x), donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica A(1,0)A(1, 0) y B(e,1)B(e, 1).
a)1,5 pts
Determina, si existen, los puntos de la gráfica de ff en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos AA y BB.
b)1 pts
Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto AA.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
BLOQUE ABloque a

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Considera la función continua ff definida por f(x)={xcos⁡(x)−asen⁡(x)x3six<0bcos⁡(x)−1six≥0f(x) = \begin{cases} \frac{x \cos(x) - a \operatorname{sen}(x)}{x^3} & \text{si} & x < 0 \\ b \cos(x) - 1 & \text{si} & x \geq 0 \end{cases} Calcula aa y bb.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
BLOQUE BBloque b

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Considera la función ff definida por f(x)=x3+2x2−1f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} para xeq−1,xeq1x eq -1, x eq 1. Calcula una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,1)(0, 1).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
BLOQUE BBloque b

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Halla la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f′′(x)=xcos⁡(x)f''(x) = x \cos(x) y cuya gráfica pasa por los puntos (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}) y (π,2π)(\pi, 2\pi).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
BLOQUE CBloque c

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera la matriz A=(11/81/8010001)A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcula A2024A^{2024}.
b)1,5 pts
Halla la matriz XX, si es posible, que verifica A2XA+I=OA^2 X A + I = O, donde II y OO son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
BLOQUE CBloque c

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera el sistema {y+z=1(k−1)x+y+z=kx+(k−1)y+z=0\begin{cases} y + z = 1 \\ (k - 1)x + y + z = k \\ x + (k - 1)y + z = 0 \end{cases}
a)1,75 pts
Discute el sistema según los valores de kk.
b)0,75 pts
Para k=1k = 1 resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que y=0y = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
BLOQUE DBloque d

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

a)1,25 pts
Halla el punto simétrico de P(2,2,1)P(2, 2, 1) respecto de la recta r≡{x−2y+z=2y−z=1r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}
b)1,25 pts
Halla el punto simétrico de Q(1,−1,−3)Q(1, -1, -3) respecto del plano π≡x−2y+z+6=0\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 0
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
BLOQUE DBloque d

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera las rectas r≡{y=02x−z=0r \equiv \begin{cases} y = 0 \\ 2x - z = 0 \end{cases} y s≡{x+y+7=0z=0s \equiv \begin{cases} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{cases}
a)1 pts
Estudia la posición relativa de rr y ss.
b)1,5 pts
Calcula la ecuación del plano paralelo a rr y ss que equidista de ambas rectas.
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