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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 4 bloques de 2 ejercicios cada uno. d) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. e) Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x), donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica A(1,0)A(1, 0) y B(e,1)B(e, 1).
a
Determina, si existen, los puntos de la gráfica de ff en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos AA y BB.1,5 pts
b
Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto AA.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Considera la función continua ff definida porf(x)={xcos⁡(x)−asen⁡(x)x3six<0bcos⁡(x)−1six≥0f(x) = \begin{cases} \frac{x \cos(x) - a \operatorname{sen}(x)}{x^3} & \text{si} & x < 0 \\ b \cos(x) - 1 & \text{si} & x \geq 0 \end{cases}Calcula aa y bb.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Considera la función ff definida por f(x)=x3+2x2−1f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} para xeq−1,xeq1x eq -1, x eq 1. Calcula una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,1)(0, 1).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Halla la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f′′(x)=xcos⁡(x)f''(x) = x \cos(x) y cuya gráfica pasa por los puntos (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}) y (π,2π)(\pi, 2\pi).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera la matriz A=(11/81/8010001)A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcula A2024A^{2024}.1 pt
b
Halla la matriz XX, si es posible, que verifica A2XA+I=OA^2 X A + I = O, donde II y OO son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera el sistema{y+z=1(k−1)x+y+z=kx+(k−1)y+z=0\begin{cases} y + z = 1 \\ (k - 1)x + y + z = k \\ x + (k - 1)y + z = 0 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de kk.1,75 pts
b
Para k=1k = 1 resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que y=0y = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.0,75 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

a
Halla el punto simétrico de P(2,2,1)P(2, 2, 1) respecto de la recta r≡{x−2y+z=2y−z=1r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}1,25 pts
b
Halla el punto simétrico de Q(1,−1,−3)Q(1, -1, -3) respecto del plano π≡x−2y+z+6=0\pi \equiv x - 2y + z + 6 = 01,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera las rectas r≡{y=02x−z=0r \equiv \begin{cases} y = 0 \\ 2x - z = 0 \end{cases} y s≡{x+y+7=0z=0s \equiv \begin{cases} x + y + 7 = 0 \\ z = 0 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Calcula la ecuación del plano paralelo a rr y ss que equidista de ambas rectas.1,5 pts
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