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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2026OrdinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2026

6 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo
90 minutos.
Qué responder
Resuelve los ejercicios 1 y 2 y elige uno de cada bloque optativo: 3.1 o 3.2, y 4.1 o 4.2.
Puntuación
Cada ejercicio vale un máximo de 2,5 puntos, incluidos 0,25 puntos por la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Material
Calculadora no programable, ni gráfica, ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Se proporciona la tabla de la distribución Normal. Se permite regla.
Además
Si respondes a los dos ejercicios de un mismo bloque optativo, solo se corrige el que aparece primero. Todos los procesos conducentes a los resultados deben estar suficientemente justificados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Parte obligatoria
Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 88 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.
Ventana rectangular coronada por un semicírculo.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Parte obligatoria
Considera los puntos A(1,2,0)A(1, 2, 0), B(2,m,1)B(2, m, 1), C(3,4,2)C(3, 4, 2) y D(1,−1,m)D(1, -1, m).
a
Halla los valores de mm para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.1 pt
b
Para m=1m = 1, calcula el área del triángulo de vértices A,B,CA, B, C y el volumen del tetraedro de vértices A,B,C,DA, B, C, D.1,5 pts
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Ejercicio 3.1 o 3.2

3.1o3.2
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

Considera el sistema {3x−y=a2(1−a)y+2z=04y+(3−a)z=a−5\left\{\begin{aligned}3x-y&=a^2\\(1-a)y+2z&=0\\4y+(3-a)z&=a-5\end{aligned}\right.
a
Discútelo según los valores de aa.1,75 pts
b
Para a=0a = 0 resuelve el sistema, si es posible.0,75 pts
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Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

Considera la matriz A=(αβ12αβ34α)A = \begin{pmatrix}\alpha&\beta&1\\2&\alpha&\beta\\3&4&\alpha\end{pmatrix} que cumple ∣A∣=−2|A| = -2.
a
Calcula∣−3−4−αα−2β−α1−β84α4β∣\begin{vmatrix}-3&-4&-\alpha\\\alpha-2&\beta-\alpha&1-\beta\\8&4\alpha&4\beta\end{vmatrix}1,5 pts
b
Calcula ∣A−1(At)2A∣|A^{-1}(A^t)^2 A|1 pt
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Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

Dada la función f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=8ex−4e2x1+exf(x)=\dfrac{8e^x-4e^{2x}}{1+e^x}, halla la primitiva de ff cuya gráfica tiene por tangente a la recta y=2x+12ln⁡(2)y=2x+12\ln(2) en el punto de abscisa x=0x=0. (Sugerencia: puedes hacer el cambio ex=te^x=t).
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Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay 22 monedas de oro y 33 monedas de plata. En la segunda hay 66 monedas de oro y 33 de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.
a
Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.0,75 pts
b
Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.1,75 pts
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Formulario

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)N(0,1)
Distribución normal N(0,1), con la probabilidad P(Z ≤ z) sombreada hasta z.
zz0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,996530,996640,996740,996830,996930,997020,997110,997200,997280,99736
2,80,997440,997520,997600,997670,997740,997810,997880,997950,998010,99807
2,90,998130,998190,998250,998310,998360,998410,998460,998510,998560,99861
3,00,998650,998690,998740,998780,998820,998860,998890,998930,998960,99900
3,10,999030,999060,999100,999130,999160,999180,999210,999240,999260,99929
3,20,999310,999340,999360,999380,999400,999420,999440,999460,999480,99950
3,30,999520,999530,999550,999570,999580,999600,999610,999620,999640,99965
3,40,999660,999680,999690,999700,999710,999720,999730,999740,999750,99976
3,50,999770,999780,999780,999790,999800,999810,999810,999820,999830,99983
3,60,999840,999850,999850,999860,999860,999870,999870,999880,999880,99989
3,70,999890,999900,999900,999900,999910,999910,999920,999920,999920,99992
3,80,999930,999930,999930,999940,999940,999940,999940,999950,999950,99995
3,90,999950,999950,999960,999960,999960,999960,999960,999960,999970,99997
4,00,999970,999970,999970,999970,999970,999970,999980,999980,999980,99998
Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria ZZ, con distribución N(0,1)N(0,1), esté por debajo del valor zz.