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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2014

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudie cómo es el sistema de ecuaciones:{x+y−4z=22x−y−z=1x−2y+3z=−1\begin{cases} x + y - 4z = 2 \\ 2x - y - z = 1 \\ x - 2y + 3z = -1 \end{cases}1,5 pts
b
Resuelva el anterior sistema de ecuaciones.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Consideremos en R3\mathbb{R}^3 r:{x=0z=0,s:{x+y=1x−y=1r : \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} , \quad\allowbreak s : \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}
a
Obtenga un vector director de la recta ss.0,5 pts
b
Obtenga el plano Π\Pi que contiene a rr y es paralelo a ss.1 pt
c
Obtenga el plano πI\pi_I que contiene a rr y es perpendicular a ss.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncie la condición que se debe cumplir para que una recta x=ax = a sea asíntota vertical de una función f(x)f(x).0,5 pts
b
Calcule las asíntotas verticales y horizontales (en −∞-\infty y en +∞+\infty) de la funciónf(x)=x2+x−1x2−x−2f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 2}2 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x, el eje OXOX y las rectas x=0x = 0, x=2πx = 2\pi.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcule el determinante de la matrizA=(1010020−10)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}0,5 pts
b
Calcule la matriz inversa de AA.1,5 pts
c
Calcule el determinante de la matriz B=12A3B = \frac{1}{2} A^3 sin obtener previamente BB.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Dado el plano Π1\Pi_1 de ecuación z=0z = 0, escriba las ecuaciones de dos planos Π2\Pi_2 y Π3\Pi_3 tales que los planos Π1,Π2\Pi_1, \Pi_2 y Π3\Pi_3 se corten dos a dos pero no exista ningún punto común a los tres.2 pts
b
Clasifique el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos Π1,Π2\Pi_1, \Pi_2 y Π3\Pi_3.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncie el teorema de Bolzano.1 pt
b
Aplique el teorema de Bolzano para probar que la ecuación cos⁡x=x2−1\cos x = x^2 - 1 tiene soluciones positivas.0,75 pts
c
¿Tiene la ecuación cos⁡x=x2−1\cos x = x^2 - 1 alguna solución negativa? Razone la respuesta.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule la siguiente suma de integrales definidas∫12−2x3dx+∫π2π(−sec⁡x⋅esec⁡x+cos⁡2x⋅esec⁡x)dx,\int_{1}^{2} \frac{-2}{x^3} dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sec x \cdot e^{\sec x} + \cos^2 x \cdot e^{\sec x}) dx,cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas.
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