Matemáticas II · Extremadura 2014

Estudie cómo es el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + y - 4z = 2 \\ 2x - y - z = 1 \\ x - 2y + 3z = -1 \end{cases}$$

Resuelva el anterior sistema de ecuaciones.

Calcule el determinante de la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Calcule la matriz inversa de $A$.

Calcule el determinante de la matriz $B = \frac{1}{2} A^3$ sin obtener previamente $B$.

Obtenga un vector director de la recta $s$.

Obtenga el plano $\Pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.

Obtenga el plano $\pi_I$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $s$.

Dado el plano $\Pi_1$ de ecuación $z = 0$, escriba las ecuaciones de dos planos $\Pi_2$ y $\Pi_3$ tales que los planos $\Pi_1, \Pi_2$ y $\Pi_3$ se corten dos a dos pero no exista ningún punto común a los tres.

Clasifique el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos $\Pi_1, \Pi_2$ y $\Pi_3$.

Enuncie la condición que se debe cumplir para que una recta $x = a$ sea asíntota vertical de una función $f(x)$.

Calcule las asíntotas verticales y horizontales (en $-\infty$ y en $+\infty$) de la función $$f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 2}$$

Enuncie el teorema de Bolzano.

Aplique el teorema de Bolzano para probar que la ecuación $\cos x = x^2 - 1$ tiene soluciones positivas.

¿Tiene la ecuación $\cos x = x^2 - 1$ alguna solución negativa? Razone la respuesta.