Matemáticas II · Baleares 2013

(a) Donada la matriu A = [[a + 2, a − 1], [1, a]], calculau els valors de a per als quals la matriu A² − A no tingui inversa. (6 punts) (b) Suposant que a = 1, trobau totes les matrius X que satisfan AX + Id = A, on Id és la matriu identitat. (4 punts)

Donat el punt P(1, 1, 1) i el pla π: x − y + z = 5. (a) Calculau les equacions contínues de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P. (4 punts) (b) Calculau el simètric del punt P respecte del pla π. (6 punts)

(a) Discutiu per a quins valors de a i b el sistema següent és compatible: {ax + (2a + 1)y − az = 1; ax + y − az = −2b; ay + (1 − a)z = b}. (7 punts) (b) Resoleu-lo en el cas (o els casos) en què sigui compatible indeterminat. (3 punts)

(a) Discutiu per a quins valors de a el sistema següent és compatible: {ax + (2a + 1)y + (1 − a)z = 0; 3ax + az = a; ax + ay + (1 − a)z = 0}. (7 punts) (b) Resoleu-lo en el cas (o els casos) en què sigui compatible indeterminat. (3 punts)

Considerem la funció f(x) = sin x / (1/2 + cos x). (a) Verificau que f(0) = f(π) = 0. (1 punt) (b) Comprovau que l'equació f'(x) = 0 no té cap solució a l'interval (0, π). (4 punts) (c) Explicau per què no es pot aplicar el teorema de Rolle en aquest cas. (5 punts)

Sigui la funció f(x) = (x² + x + 1) / (x² + 1). (a) Calculau les asímptotes de la funció f(x). (3 punts) (b) Calculau els extrems de la funció f(x). (7 punts)

Feu un dibuix del recinte limitat per les corbes y₁(x) = 1/x, y₂(x) = 4x i y₃(x) = (1/4)x, per als valors de x positius. (4 punts) Calculau l'àrea d'aquest recinte. (6 punts)

Calculau la següent integral indefinida ∫ x³ / (x² − 5x + 6) dx. (10 punts)