Matemáticas II · Canarias 2019

Se desea vallar un terreno rectangular usando $100$ metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de $20$ metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.

Dada la siguiente expresión de la función $f$, de la que se desconocen algunos valores: $$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} - \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en todo su dominio. Escribir la función resultante.

Dadas las matrices: $A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x + 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y sea $I_2$ la matriz identidad de orden $2$

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: $$\begin{cases} 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 4 \\ 7 & -1 & 12 \end{pmatrix} \\ X - 2Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -7 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{cases}$$

Dados los planos $\pi_1 \equiv x - y + 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv 2x + y - z = 0$, calcular:

Se consideran los puntos $A(2, -1, 1)$ y $B(-2, 3, 1)$ que determinan la recta $r$.

En un banco se sabe que el tiempo de devolución de un préstamo de $18000$€ sigue una distribución normal de media $60$ meses y desviación típica $8$ meses. Se elige al azar un préstamo de $18000$€ realizado en dicho banco:

Una planta ensambladora de circuitos recibe componentes procedentes de tres fabricantes $A$, $B$ y $C$. El $50\%$ del total de los componentes se compra al fabricante $A$, mientras que a los fabricantes $B$ y $C$ se le compra un $25\%$ a cada uno. El porcentaje de componentes defectuosos es de un $5\%$ para el fabricante $A$, el $10\%$ para el fabricante $B$ y el $12\%$ para el fabricante $C$.