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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024ExtraordinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 4 bloques de 2 ejercicios cada uno. d) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. e) Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque A.

Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, definida por f(x)=ln⁡(x2+1x)f(x) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right), donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
a
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.1 pt
b
Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque A.

Calcula aa y bb sabiendo quelim⁡x→0a(ln⁡(1+x)−x)+b(ex−1)+1−cos⁡(x)sen⁡2(x)=5\lim_{x \to 0} \frac{a(\ln(1 + x) - x) + b(e^x - 1) + 1 - \cos(x)}{\sen^2(x)} = 5donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque B.

Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)=∫0xcos⁡(t)sec⁡2(t)dtf(x) = \int_{0}^{x} \cos(t) \sec^2(t) dtDetermina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=π4x = \frac{\pi}{4}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque B.

Calcula ∫dx4+4ex\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^x}}. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=1+ext = \sqrt{1 + e^x}).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque C.

Considera el sistema de ecuaciones lineales{ax+y+z=1+ax+2y−z=1−ax+(1+a)y−az=0\begin{cases} ax + y + z = 1 + a \\ x + 2y - z = 1 - a \\ x + (1 + a)y - az = 0 \end{cases}
a
Calcula aa para que el sistema sea compatible indeterminado.1,5 pts
b
Resuelve el sistema, si es posible, para a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque C.

Considera las matrices A=(13−25)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}, M=(0111)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} e II la matriz identidad de orden 2.
a
Sabiendo que AA verifica la identidad (A+aI)2=bI(A + aI)^2 = bI, halla aa y bb.1,5 pts
b
Resuelve la ecuación MX+M2=IMX + M^2 = I.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque D.

Considera el plano π≡x−y=0\pi \equiv x - y = 0 y la recta r≡x−12=y3=z−2r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2.
a
Calcula, si es posible, el plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.1,25 pts
b
Calcula, si es posible, la recta perpendicular a rr, contenida en π\pi y que pasa por el origen.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque D.

Considera los puntos O(0,0,0)O(0, 0, 0), A(a,−1,2)A(a, -1, 2) y B(a,1,0)B(a, 1, 0).
a
Determina aa para que el triángulo OABOAB tenga área 3 unidades cuadradas.1,5 pts
b
Calcula aa para que OO, AA y BB sean coplanarios con el punto C(1,1,0)C(1, 1, 0).1 pt
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