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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024ExtraordinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque a

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque A.

Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, definida por f(x)=ln⁡(x2+1x)f(x) = \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right), donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
a)1 pts
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b)1,5 pts
Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque a

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque A.

Calcula aa y bb sabiendo que lim⁡x→0a(ln⁡(1+x)−x)+b(ex−1)+1−cos⁡(x)sen⁡2(x)=5\lim_{x \to 0} \frac{a(\ln(1 + x) - x) + b(e^x - 1) + 1 - \cos(x)}{\sen^2(x)} = 5 donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque b

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque B.

Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=∫0xcos⁡(t)sec⁡2(t)dtf(x) = \int_{0}^{x} \cos(t) \sec^2(t) dt Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=π4x = \frac{\pi}{4}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque b

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque B.

Calcula ∫dx4+4ex\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^x}}. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=1+ext = \sqrt{1 + e^x}).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque c

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque C.

Considera el sistema de ecuaciones lineales {ax+y+z=1+ax+2y−z=1−ax+(1+a)y−az=0\begin{cases} ax + y + z = 1 + a \\ x + 2y - z = 1 - a \\ x + (1 + a)y - az = 0 \end{cases}
a)1,5 pts
Calcula aa para que el sistema sea compatible indeterminado.
b)1 pts
Resuelve el sistema, si es posible, para a=0a = 0.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque c

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque C.

Considera las matrices A=(13−25)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}, M=(0111)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} e II la matriz identidad de orden 2.
a)1,5 pts
Sabiendo que AA verifica la identidad (A+aI)2=bI(A + aI)^2 = bI, halla aa y bb.
b)1 pts
Resuelve la ecuación MX+M2=IMX + M^2 = I.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque d

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque D.

Considera el plano π≡x−y=0\pi \equiv x - y = 0 y la recta r≡x−12=y3=z−2r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2.
a)1,25 pts
Calcula, si es posible, el plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.
b)1,25 pts
Calcula, si es posible, la recta perpendicular a rr, contenida en π\pi y que pasa por el origen.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque d

Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios del bloque D.

Considera los puntos O(0,0,0)O(0, 0, 0), A(a,−1,2)A(a, -1, 2) y B(a,1,0)B(a, 1, 0).
a)1,5 pts
Determina aa para que el triángulo OABOAB tenga área 3 unidades cuadradas.
b)1 pts
Calcula aa para que OO, AA y BB sean coplanarios con el punto C(1,1,0)C(1, 1, 0).
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