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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo quelim⁡x→0ln⁡(x+1)−asen⁡(x)+xcos⁡(3x)x2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(x + 1) - a \operatorname{sen}(x) + x \cos(3x)}{x^2}es finito, calcula aa y el valor del límite. (ln denota logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función ff en el punto de abscisa x=1x = 1 sabiendo que f(0)=0f(0) = 0 y f′(x)=(x−1)2x+1f'(x) = \frac{(x - 1)^2}{x + 1} para x>−1x > -1.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(−111010−211)yB=(−332−8748−6−3)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3 \end{pmatrix}
a
Halla la matriz XX que verifica AX+B=2AAX + B = 2A.1,75 pts
b
Calcula B2B^2 y B2016B^{2016}.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1) y la recta rr dada por {y+2z=0x=1\begin{cases} y + 2z = 0 \\ x = 1 \end{cases}
a
Determina la ecuación del plano que pasa por PP y es perpendicular a rr.1 pt
b
Calcula la distancia de PP a la recta rr y el punto simétrico de PP respecto de rr.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}.
a
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff. Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de ff.0,75 pts
b
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,25 pts
c
Esboza la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} la función dada por f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x) (ln representa logaritmo neperiano).
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.0,5 pts
b
Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de ff, la recta y=x−1y = x - 1 y la recta x=3x = 3. Calcula su área.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales{(3α−1)x+2y=5−ααx+y=23αx+3y=α+5\begin{cases} (3\alpha - 1)x + 2y = 5 - \alpha \\ \alpha x + y = 2 \\ 3\alpha x + 3y = \alpha + 5 \end{cases}
a
Discútelo según los valores del parámetro α\alpha.1,5 pts
b
Resuélvelo para α=1\alpha = 1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectas rr y ss dadas porr≡{x=1+2λy=1−λz=1ys≡{x+2y=−1z=−1r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = -1 \end{cases}
a
Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.1,5 pts
b
Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas rr y ss, calcula su área.1 pt
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