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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2026

4 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a una tarea de cada uno de los cuatro apartados. En el 1, el 2 y el 4, elige A o B; el 3 es obligatorio.
Puntuación
Cada apartado vale 2,5 puntos. La puntuación de cada pregunta figura en el enunciado.
Material
No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables.
Además
Todas las respuestas deben ser razonadas y debe exponerse con claridad el planteamiento o el método utilizado. Si resuelves más de una opción de un apartado, solo se corrige la primera según el orden en que las hayas resuelto.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Apartado 1Bloque A+D

Resuelve una de las siguientes tareas (1A o 1B):

Considera las matrices presentadas a continuación,A=(a0314−a011)yB=(10−12)A = \begin{pmatrix} a & 0 & 3 \\ 1 & 4 & -a \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}donde el parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}. Responde a las siguientes cuestiones:
a
Halla los valores del parámetro aa para los que AA tiene inversa.1 pt
b
Considera a=0a = 0, calcula la matriz XX que cumple:AXB=(20110−1)AXB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}1,5 pts
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Resuelve una de las siguientes tareas (1A o 1B):

Considera el siguiente sistema de ecuaciones:{a3x+y+az=1ax+a2y=a\begin{cases} a^3 x + y + az = 1 \\ ax + a^2 y = a \end{cases}dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}. Responde a las siguientes cuestiones:
a
Discute el sistema en función de los valores de aa.1,5 pts
b
Considera a=0a = 0. Si el sistema es compatible, halla su solución general.0,5 pts
c
Considera a=2a = 2. Si el sistema es compatible, halla su solución general.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Apartado 2Bloque B

Resuelve una de las siguientes tareas (2A o 2B):

Considera la siguiente función definida a trozos:f(x)={x2+3x+a2si x<1ln⁡xx+4asi x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x + a^2 & \text{si } x < 1 \\ \dfrac{\ln x}{x} + 4a & \text{si } x \geq 1 \end{cases}donde a∈Ra \in \mathbb{R}. Responde a las siguientes cuestiones:
a
Calcula los valores de aa para los cuales f(x)f(x) es continua en todo su dominio.0,75 pts
b
Calcula las asíntotas de f(x)f(x), en función de aa.0,75 pts
c
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
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Resuelve una de las siguientes tareas (2A o 2B):

Considera la siguiente función real:f(x)=x1−xf(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{x}}y responde a las siguientes cuestiones:
a
Determina el dominio de definición de f(x)f(x).0,5 pts
b
Calcula una primitiva de f(x)f(x), que se haga nula en x=0x = 0.1,25 pts
c
Calcula el valor de xx para el cual f(x)f(x) alcanza el valor máximo en (1,∞)(1,\infty).0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Apartado 3Bloque C
Considera los puntos A=(0,5,−1)A = (0, 5, -1) y B=(−3,11,−10)B = (-3, 11, -10), y la rectar:x−31=y+2−2=z3r: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{3}
a
Estudia la posición relativa de rr y la recta que contiene a AA y BB.0,5 pts
b
Calcula el área del triángulo formado por los vértices AA, BB y un punto genérico de rr.1 pt
c
Halla la ecuación general o implícita del plano que contiene a rr y AA.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Apartado 4Bloque E

Resuelve una de las siguientes tareas (4A o 4B).

Tenemos 3 cajas (caja A, caja B y caja C) y bolas rojas o blancas. La caja A contiene 10 bolas, de las cuales 4 son blancas. La caja B contiene 6 bolas, de las cuales solo una es blanca. La caja C contiene 3 bolas blancas en un total de 8 bolas.
a
Calcula la probabilidad de que, al sacar al azar una bola de cualquiera de las cajas, esta sea blanca.0,5 pts
b
Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una bola blanca, pertenezca a la caja B.1 pt
c
Calcula la probabilidad de que, sacando al azar dos bolas de las cajas A o B, se obtengan dos bolas blancas.1 pt
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Resuelve una de las siguientes tareas (4A o 4B).

La venta de pizzas a la semana de un establecimiento sigue una distribución normal, con una media de 300 pizzas y una desviación típica de 62 pizzas.
a
Calcula la probabilidad de que, escogiendo una semana al azar el establecimiento venda más de 370 pizzas.1 pt
b
Calcula la probabilidad de que, escogiendo una semana al azar, el establecimiento venda entre 200 y 350 pizzas.1 pt
c
Calcula la probabilidad de que, escogiendo al azar dos semanas, se vendan, al menos, 150 pizzas en cada una de ellas.0,5 pts
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Formulario

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Tabla de la distribución normal N(0,1)N(0,1)P(z≤z0)=12π∫−∞z0e−z22 dzP(z \leq z_0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z_0} e^{\frac{-z^2}{2}}\,dz
z0z_00,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09z0z_0
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,53590,0
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,57530,1
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,61410,2
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,65170,3
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,68790,4
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,72240,5
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,75490,6
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,78520,7
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,81330,8
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,83890,9
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,86211,0
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,88301,1
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,90151,2
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,91771,3
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,93191,4
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,94411,5
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,95451,6
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,96331,7
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,97061,8
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,97671,9
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,98172,0
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,98572,1
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,98902,2
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,99162,3
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,99362,4
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,99522,5
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,99642,6
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,99742,7
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,99812,8
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,99862,9
3,00,998650,998690,998740,998780,998820,998860,998890,998930,998960,999003,0
3,10,999030,999060,999100,999130,999160,999180,999210,999240,999260,999293,1
3,20,999310,999340,999360,999380,999400,999420,999440,999460,999480,999503,2
3,30,999520,999530,999550,999570,999580,999600,999610,999620,999640,999653,3
3,40,999660,999680,999690,999700,999710,999720,999730,999740,999750,999763,4
3,50,999770,999780,999780,999790,999800,999810,999810,999820,999830,999833,5
3,60,999840,999850,999850,999860,999860,999870,999870,999880,999880,999893,6
3,70,999890,999900,999900,999900,999910,999910,999920,999920,999920,999923,7
3,80,999930,999930,999930,999940,999940,999940,999940,999950,999950,999953,8
3,90,999950,999950,999960,999960,999960,999960,999960,999960,999970,999973,9