Matemáticas CCSS · Murcia 2019

Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$: $$\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ ax - y - z = a - 1 \\ 3x - 2az = a - 1 \end{cases}$$

Un joven emprendedor quiere montar una empresa informática donde comercializará dos tipos de ordenadores. El tipo A dispondrá de 1 disco duro y 1 una unidad de memoria de pequeña capacidad, mientras que el tipo B tendrá 2 discos duros y su unidad de memoria será de alta capacidad. En total cuenta con 40 unidades de memoria de pequeña capacidad y 30 unidades de memoria de alta capacidad y 80 discos duros. Por cada ordenador del tipo A espera obtener un beneficio de 150 euros y del tipo B de 250 euros.

Determine el punto de la gráfica de la función $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 7x + 5$ en la que la pendiente de la recta tangente sea máxima. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto?

Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

Representar gráficamente la región limitada por las funciones $f(x) = 9 - x^2$ y $g(x) = x^2 - 9$. Calcular su área.

Dada la función $f(x) = 2 e^{x + 1}$,

En un taller mecánico el $70\%$ de los coches que se reparan son del modelo A y el resto de un modelo B. Después de 6 meses, el $95\%$ de los coches del modelo A no vuelven al taller mientras que del modelo B solo no vuelven el $80\%$. Si elegimos un coche al azar:

En un hospital de la región de Murcia se está probando una nueva terapia para dejar de fumar. De los pacientes que entran en este ensayo el $45\%$ prueba la terapia y el resto no. Después de un año el $70\%$ de los que siguieron la terapia y el $40\%$ de los que no la siguieron han dejado de fumar. Se elige al azar a un paciente fumador de este hospital:

Se sabe que la estatura de los individuos de Murcia es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con desviación típica de $6\,\text{cm}$. Se toma una muestra aleatoria de $225$ individuos y da una media de $176\,\text{cm}$. Obtenga un intervalo de confianza, con un $99\%$ de confianza, para la media de la estatura de la población.

En un estudio realizado por una empresa se ha obtenido que el intervalo de confianza de una variable, a un nivel de confianza del $95\%$, es $(6{,}824, 9{,}176)$. Hallar la media y el tamaño de la muestra para obtener dicho intervalo conociendo que la varianza de la distribución es de $9$. Explique cada uno de los pasos realizados.