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la cuevadel empollón
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3

2,5 puntos
En una asignatura de un máster de dos años, el 70 %70\,\% de los estudiantes son de primer curso y el resto son de segundo curso. Según datos de cursos anteriores, la probabilidad de aprobar la asignatura es del 60 %60\,\% para los estudiantes de primer curso y del 85 %85\,\% para los de segundo curso. Fórmulas para resolver el ejercicio: • Z∼normal (0,1)→P(−1,96≤Z≤1,96)=0,95Z \sim \text{normal }(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) = 0{,}95 y P(−2,58≤Z≤2,58)=0,99P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) = 0{,}99 • Intervalos de confianza con un nivel de confianza γ∈(0,1)\gamma \in (0, 1) — para la proporción (muestras grandes):[p^−zγp^(1−p^)n,p^+zγp^(1−p^)n]\left[\hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\right]— para la media (muestras normales con la varianza σ2\sigma^2 conocida):[xˉ−zγσn,xˉ+zγσn]\left[\bar{x} - z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]— para la media (muestras grandes con la varianza σ2\sigma^2 desconocida):[xˉ−zγsn,xˉ+zγsn]\left[\bar{x} - z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}\right]
3.1
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe la asignatura? Si se sabe que un estudiante ha aprobado la asignatura, ¿cuál es la probabilidad de que sea de primer curso?1,25 pts
3.2
El profesor quiere estimar la nueva proporción de estudiantes que aprueban la asignatura después de introducir un nuevo método de enseñanza. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de n=80n = 80 estudiantes y observa que 55 de ellos han aprobado. Encuentre un intervalo de confianza del 95 %95\,\% para la proporción pp de aprobados con el nuevo método. ¿El intervalo obtenido permite afirmar que el nuevo método ha mejorado la tasa de aprobados respecto de la situación anterior? Razone la respuesta.1,25 pts