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la cuevadel empollón
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1

2 puntos
En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes kk viene dada por aka_k, bkb_k y ckc_k, respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes k+1k+1 y en el mes anterior, kk:(ak+1bk+1ck+1)=M(akbkck)\begin{pmatrix}a_{k+1}\\b_{k+1}\\c_{k+1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{pmatrix}conM=(100110101).M=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}.
a
Si en el instante inicial (k=0k=0) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después?0,5 pts
b
Razona (sin calcular MkM^k) que se cumple la siguiente relación(akbkck)=Mk(a0b0c0),\begin{pmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{pmatrix}=M^k\begin{pmatrix}a_0\\b_0\\c_0\end{pmatrix},donde a0a_0, b0b_0 y c0c_0 son el número de ejemplares de cada especie en el instante inicial.0,5 pts
c
Calcula MkM^k con k∈Nk\in\mathbb{N}. ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo?1 pt

Formulario

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Nota: Puedes utilizar las siguientes fórmulas si te resultan de utilidad en alguno de los ejercicios anteriores. - En el paralelogramo ABCDABCD podemos calcular su área con la expresión Aˊrea=∣AB→×AD→∣\text{Área}=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right|. - Dado un triángulo ABCABC, su área puede obtenerse con la expresión Aˊrea=∣AB→×AC→∣2\text{Área}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|}{2}. - Sea el paralelepípedo definido por los vectores AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} y AD→\overrightarrow{AD}, entonces su volumen puede ser obtenido por la expresión Volumen=∣[AB→,AC→,AD→]∣\text{Volumen}=\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|. - El volumen de un tetraedro de vértices AA, BB, CC y DD puede ser obtenido por la expresión Volumen=∣[AB→,AC→,AD→]∣6.\text{Volumen}=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|}{6}.
kk0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09kk
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,53590,0
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,57530,1
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,61410,2
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,65170,3
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,68790,4
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,72240,5
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,75490,6
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,78520,7
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,81330,8
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,83890,9
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,86211,0
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,88301,1
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,90151,2
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,91771,3
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,93191,4
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,94411,5
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,95451,6
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,96331,7
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,97061,8
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,97671,9
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,98172,0
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,98572,1
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,98902,2
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,99162,3
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,99362,4
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,99522,5
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,99642,6
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,99742,7
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,99812,8
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,99862,9
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,99903,0
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,99933,1
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,99953,2
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,99973,3
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99983,4
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99983,5
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99993,6
NOTA: En la tabla figuran los valores de P(Z≤k)P(Z\leq k) para una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Si el valor buscado se encuentra entre dos valores de la tabla, elija el más próximo de los dos. En el caso de que las distancias por exceso y por defecto sean iguales, considere la media aritmética de los valores correspondientes.