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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2026

5 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo
90 minutos.
Qué responder
Responde a las cinco preguntas. Las tres primeras son obligatorias; en la 4 y en la 5, elige una de las dos opciones.
Puntuación
Cada pregunta vale 2 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Además
Justifica los pasos realizados para llegar a la solución. Indica qué opciones eliges en las preguntas 4 y 5. Si no lo indicas y respondes las dos opciones de una misma pregunta, solo se corrige la que aparezca primero.

Ejercicio 1

1
2 puntos
En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes kk viene dada por aka_k, bkb_k y ckc_k, respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes k+1k+1 y en el mes anterior, kk:(ak+1bk+1ck+1)=M(akbkck)\begin{pmatrix}a_{k+1}\\b_{k+1}\\c_{k+1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{pmatrix}conM=(100110101).M=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}.
a
Si en el instante inicial (k=0k=0) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después?0,5 pts
b
Razona (sin calcular MkM^k) que se cumple la siguiente relación(akbkck)=Mk(a0b0c0),\begin{pmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{pmatrix}=M^k\begin{pmatrix}a_0\\b_0\\c_0\end{pmatrix},donde a0a_0, b0b_0 y c0c_0 son el número de ejemplares de cada especie en el instante inicial.0,5 pts
c
Calcula MkM^k con k∈Nk\in\mathbb{N}. ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo?1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea f(x)f(x) una función continua definida en [0,+∞)[0,+\infty) tal que f′(x)=exx, ∀x>0f'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},\ \forall x>0, y f(1)=2e−2f(1)=2e-2.
a
Calcula f(x)f(x) y lim⁡x→0+f(x)\lim_{x\to0^+}f(x).1 pt
b
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff. Justifica que f(x)≥0, ∀x≥0f(x)\geq0,\ \forall x\geq0.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean los planos π≡x−2y+4z+1=0\pi\equiv x-2y+4z+1=0 y πd≡2x−3y+6z=d\pi_d\equiv2x-3y+6z=d, con d∈Rd\in\mathbb{R}.
a
¿Hay algún valor de d∈Rd\in\mathbb{R} para el cual los planos π\pi y πd\pi_d no se corten?1 pt
b
Calcula, para d=−2d=-2, los puntos de corte entre los planos π\pi y πd\pi_d.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos

Elige entre 4.1 y 4.2, respondiendo únicamente uno de los dos.

Para una prueba de Bachillerato se ha preparado un cuestionario tipo test de 4 preguntas con 5 respuestas posibles a cada pregunta. Cada pregunta correctamente respondida suma 2,52{,}5 puntos. Por cada respuesta incorrecta se restan 0,6250{,}625 puntos. Si no se contesta a la pregunta, se puntúa con 0.2 pts
a
¿Cuál es la probabilidad de sacar sobresaliente (nota mayor o igual a 9) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de suspender (nota menor que 5) contestando las cuatro preguntas aleatoriamente?1 pt
En un hospital se realizan dos técnicas diferentes de intervención para una misma lesión. Se muestra en la siguiente tabla el número de intervenciones realizadas en los últimos años clasificadas por tipo de técnica y gravedad de la lesión antes de la intervención:2 pts
Nº intervenciones
Técnica 1Técnica 2
Graves44140
Leves13640
En la tabla siguiente se muestra el número de intervenciones que fueron efectivas ante la lesión:
Nº intervenciones efectivas
Técnica 1Técnica 2
Graves30102
Leves12036
a
Se elige al azar el expediente de una intervención realizada en el hospital para esta lesión. Sabiendo que la intervención ha sido efectiva, ¿cuál de las dos técnicas es más probable que se haya usado?0,5 pts
b
Con los datos anteriores, un cirujano del hospital quiere elegir la técnica que le proporcione mayor probabilidad de éxito. ¿Qué técnica elegirá para una lesión leve?, ¿y para una lesión grave?1 pt
c
El protocolo del hospital cuando se desconoce la gravedad de la lesión es aplicar la técnica 1. Justifica por qué este protocolo no es el más adecuado.0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos

Elige entre 5.1 y 5.2, respondiendo únicamente uno de los dos.

En un archivo de la universidad se están digitalizando los expedientes allí almacenados. La universidad dispone de 70 archiveros que pueden realizar el trabajo y de un número limitado de equipos informáticos. Inicialmente se crea un equipo de trabajo con 50 archiveros. Se ha observado que cada uno de los integrantes de ese equipo digitaliza 80 expedientes mensualmente y que por cada archivero más que se añada al equipo, se reduce en uno los expedientes que digitaliza cada archivero al mes. Determina el número de archiveros que deben formar el equipo para que el número de expedientes digitalizados al mes sea máximo.2 pts
Calcula lim⁡x→0esen⁡(x)−ex1−cos⁡(x)\lim_{x\to0}\frac{e^{\operatorname{sen}(x)}-e^x}{1-\cos(x)}.2 pts
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Formulario

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Nota: Puedes utilizar las siguientes fórmulas si te resultan de utilidad en alguno de los ejercicios anteriores. - En el paralelogramo ABCDABCD podemos calcular su área con la expresión Aˊrea=∣AB→×AD→∣\text{Área}=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right|. - Dado un triángulo ABCABC, su área puede obtenerse con la expresión Aˊrea=∣AB→×AC→∣2\text{Área}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|}{2}. - Sea el paralelepípedo definido por los vectores AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} y AD→\overrightarrow{AD}, entonces su volumen puede ser obtenido por la expresión Volumen=∣[AB→,AC→,AD→]∣\text{Volumen}=\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|. - El volumen de un tetraedro de vértices AA, BB, CC y DD puede ser obtenido por la expresión Volumen=∣[AB→,AC→,AD→]∣6.\text{Volumen}=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|}{6}.
kk0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09kk
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,53590,0
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,57530,1
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,61410,2
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,65170,3
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,68790,4
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,72240,5
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,75490,6
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,78520,7
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,81330,8
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,83890,9
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,86211,0
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,88301,1
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,90151,2
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,91771,3
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,93191,4
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,94411,5
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,95451,6
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,96331,7
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,97061,8
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,97671,9
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,98172,0
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,98572,1
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,98902,2
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,99162,3
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,99362,4
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,99522,5
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,99642,6
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,99742,7
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,99812,8
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,99862,9
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,99903,0
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,99933,1
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,99953,2
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,99973,3
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99983,4
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99983,5
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99993,6
NOTA: En la tabla figuran los valores de P(Z≤k)P(Z\leq k) para una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Si el valor buscado se encuentra entre dos valores de la tabla, elija el más próximo de los dos. En el caso de que las distancias por exceso y por defecto sean iguales, considere la media aritmética de los valores correspondientes.