3

2 puntos

Parte A

Contesta justificadamente los siguientes apartados:

Dos productos

A

B

compiten en el mercado. Sus demandas

x_a

x_b

están relacionadas con sus precios,

p_a

p_b

, por las siguientes ecuaciones de demanda:

\begin{gathered}x_a = 17 - 2p_a + \frac{1}{2}p_b,\\ x_b = 20 - 3p_b + \frac{1}{2}p_a.\end{gathered}

Las ecuaciones de oferta son:

\begin{gathered}p_a = 2 + x_a + \frac{1}{3}x_b,\\ p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \frac{1}{4}x_a,\end{gathered}

que dan los precios a los cuales las cantidades

x_a

x_b

estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de

x_a

x_b

p_a

p_b

que resuelven el sistema planteado:

\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}17 \\ 20 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}.

1 pt

Dada la matriz

X = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix},

calcula

A = I_4 - X(X^t X)^{-1}X^t

y comprueba que es idempotente, es decir, que

A^2 = A

.1 pt

1 pt

Formulario

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Tabla simplificada de la distribución normal tipificada

z