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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2026

5 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a las cinco preguntas. Las tres primeras son obligatorias; en la 4 elige 4.1 o 4.2 y en la 5 elige 5.1 o 5.2.
Puntuación
Cada pregunta vale 2 puntos.
Material
Solo se permiten las calculadoras del listado publicado en la web de la Universidad de La Rioja.
Además
Todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A
En una prueba de diagnóstico médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron 0,60{,}6 y −0,8-0{,}8 y sus índices reales son 109109 y 8888, respectivamente. Calcula:
a
la media y desviación típica del índice analizado.1 pt
b
entre que valores simétricos respecto a la media está el índice del 80 %80\,\% de los individuos de dicho estudio. (Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A
Contesta justificadamente los siguientes apartados: En Semana Santa, dos pasos salen en procesión por dos calles perpendiculares. El primer paso sale de la iglesia AA a 3 km/h3\,\text{km/h} y el segundo sale a la misma hora de la iglesia BB a 2,8 km/h2{,}8\,\text{km/h}, ambos en sentido al mismo cruce de las calles. La distancia de la iglesia AA hasta el cruce es de 2,2 km2{,}2\,\text{km} y desde la iglesia BB hasta el cruce, de 2 km2\,\text{km}.
a
Determina en qué momento la distancia entre los dos pasos es mínima.1,75 pts
b
Determina la distancia mínima.0,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A
Contesta justificadamente los siguientes apartados:
a
Dos productos AA y BB compiten en el mercado. Sus demandas xax_a y xbx_b están relacionadas con sus precios, pap_a y pbp_b, por las siguientes ecuaciones de demanda:xa=17−2pa+12pb,xb=20−3pb+12pa.\begin{gathered}x_a = 17 - 2p_a + \frac{1}{2}p_b,\\ x_b = 20 - 3p_b + \frac{1}{2}p_a.\end{gathered}Las ecuaciones de oferta son:pa=2+xa+13xb,pb=2+12xb+14xa,\begin{gathered}p_a = 2 + x_a + \frac{1}{3}x_b,\\ p_b = 2 + \frac{1}{2}x_b + \frac{1}{4}x_a,\end{gathered}que dan los precios a los cuales las cantidades xax_a e xbx_b estarán disponibles en el mercado. Calcula los valores de equilibrio de xax_a, xbx_b, pap_a y pbp_b que resuelven el sistema planteado:(102−1/201−1/23−1−1/310−1/4−1/201)(xaxbpapb)=(172022).\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1/2 & 3 \\ -1 & -1/3 & 1 & 0 \\ -1/4 & -1/2 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_a \\ x_b \\ p_a \\ p_b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}17 \\ 20 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}.1 pt
b
Dada la matrizX=(11121113),X = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix},calcula A=I4−X(XtX)−1XtA = I_4 - X(X^t X)^{-1}X^t y comprueba que es idempotente, es decir, que A2=AA^2 = A.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte B

Contesta solo a una de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

Halla el área total de la figura limitada por y=x3y = x^3, y=2xy = 2x e y=xy = x.2 pts
2 pts
a
Sea f(x)=13x3−2x2+3x+1f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1. Determinar todas las ecuaciones de las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función ff.1 pt
b
Dados a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}, estudia la continuidad de ff, en función de a,ba,b, para todos los puntos de R\mathbb{R} de la siguiente función:f(x)={eax+b,si, x<1,e,si, x=1,e−ax+1,si, x>1.f(x) = \begin{cases}e^{ax+b}, & \text{si, } x < 1, \\ e, & \text{si, } x = 1, \\ e - ax + 1, & \text{si, } x > 1.\end{cases}1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte B

Contesta solo a una de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

Contesta justificadamente los siguientes apartados: Sean la recta r:x3=y=z−11−1r : \frac{x}{3} = y = \frac{z - 11}{-1} y el punto P≡(0,1,1)P \equiv (0,1,1).2 pts
a
Determina la ecuación del plano que pasa por el punto PP y es perpendicular a la recta rr.1 pt
b
Halla la distancia de PP a la recta rr.1 pt
Contesta justificadamente los siguientes apartados: Determina los valores de aa para que los planos de ecuaciones:{π1:x+y+z=1,π2:(a−1)x+y+z=a,π3:x+(a−1)y−z=0,\begin{cases}\pi_1 : x + y + z = 1, \\ \pi_2 : (a - 1)x + y + z = a, \\ \pi_3 : x + (a - 1)y - z = 0,\end{cases}2 pts
a
se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.1 pt
b
se corten en una recta. En este caso, determina la recta en su forma paramétrica.1 pt
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Formulario

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Tabla simplificada de la distribución normal tipificada
zz00,010,020,030,040,050,060,070,080,09
00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
10,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
20,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817