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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se consideran las matrices A=(21−1012101)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(11−1011120)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}. Resuelva, si es posible, la ecuación matricial AX=BAX = B.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Halle aa y bb para que las rectas r:x2=y=z2−ar: \frac{x}{2} = y = \frac{z}{2 - a} y s:x−bz=0s: x - bz = 0 sean paralelas.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la curva f(x)=x33−3x22+2xf(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x:
a
Obtenga sus máximos, mínimos y puntos de inflexión.1 pt
b
Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule:
a
lim⁡x→11−cos⁡(x−1)(ln⁡x)2\lim_{x \to 1} \frac{1 - \cos(x - 1)}{(\ln x)^2}1,5 pts
b
lim⁡x→0(x4+ex)1x\lim_{x \to 0} (x^4 + e^x)^{\frac{1}{x}}1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{−ax+y=1−x+ay−z=0x+y+az=1\begin{cases} -ax + y = 1 \\ -x + ay - z = 0 \\ x + y + az = 1 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los valores del número real aa.1,5 pts
b
Resuélvalo cuando a=0a = 0 si es posible.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se consideran las rectas r:x−13=y+22=z+1r: \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = z + 1 y s:{x=1+ty=m+3tz=−1+3ts: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = m + 3t \\ z = -1 + 3t \end{cases}
a
Calcule mm para que las rectas se corten en un punto.1,5 pts
b
Para ese mm halle el punto de corte.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio 11 metro, halle el volumen del que lo tenga máximo.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Resuelva, usando partes: ∫arctg⁡(3x) dx\int \operatorname{arctg}(3x) \, dx.
Datos
  • arctan⁡=arcotangente\operatorname{arctan} = \text{arcotangente}
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