Matemáticas II · Asturias 2011

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$. Resuelva, si es posible, la ecuación matricial $AX = B$.

Dado el sistema $$\begin{cases} -ax + y = 1 \\ -x + ay - z = 0 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Halle $a$ y $b$ para que las rectas $r: \frac{x}{2} = y = \frac{z}{2 - a}$ y $s: x - bz = 0$ sean paralelas.

Se consideran las rectas $r: \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = z + 1$ y $s: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = m + 3t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$

Dada la curva $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$:

De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio $1$ metro, halle el volumen del que lo tenga máximo.

Calcule:

Resuelva, usando partes: $\int \operatorname{arctg}(3x) \, dx$.