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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2010

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Determina para qué valores de aa la recta {2x+y+z=7x−y+3z=a\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x - y + 3z = a \end{cases} y el plano de ecuación 3x+az=43x + az = 4 son paralelos.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Dibuja las dos curvas y=x3−1y = x^3 - 1, y=−x2+xy = -x^2 + x. Halla el área comprendida entre ambas.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Halla todas las matrices 2×22 \times 2, que denotamos AA, que cumplenA2=0,(1,1)⋅A=0 A^2 = 0, \quad (1, 1) \cdot A = 0 (00 denota una matriz nula, A2=A⋅AA^2 = A \cdot A.)
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra a,ba, b para que la función definida comof(x)={x2si x<1ax+bsi 1≤x≤22x2si 2<x f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ 2x^2 & \text{si } 2 < x \end{cases} sea continua en los puntos x=1x = 1, x=2x = 2. Determina, para los valores de a,ba, b hallados, si la función es derivable en los puntos x=1x = 1, x=2x = 2.
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Sean r,sr, s las rectas en el espacio dadas, respectivamente, porr≡{2x+y+z=4x−y+z=1s≡{x+z=2x+2y−3z=a r \equiv \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases} Calcula para qué valores de aa las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición relativa que tienen las rectas para el resto de valores de aa.
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Determina para qué valores de aa la recta {2x+y+z=7x−y+3z=a\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x - y + 3z = a \end{cases} y el plano de ecuación 3x+az=43x + az = 4 son paralelos.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
Dibuja las dos curvas y=x3−1y = x^3 - 1, y=−x2+xy = -x^2 + x. Halla el área comprendida entre ambas.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Halla todas las matrices 2×22 \times 2, que denotamos AA, que cumplenA2=0,(1,1)⋅A=0 A^2 = 0, \quad (1, 1) \cdot A = 0 (00 denota una matriz nula, A2=A⋅AA^2 = A \cdot A.)
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Encuentra los valores a,b,ca, b, c para los que la funciónf(x)=aln⁡x+bx+cx2 f(x) = a \ln x + bx + cx^2 tiene en el punto (1,0)(1, 0) un mínimo relativo y cumple lim⁡x→+∞f(x)x2=1\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1.
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Sean r,sr, s las rectas en el espacio dadas, respectivamente, porr≡{2x+y+z=4x−y+z=1s≡{x+z=2x+2y−3z=a r \equiv \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases} Calcula para qué valores de aa las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición relativa que tienen las rectas para el resto de valores de aa.
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