Matemáticas II · La Rioja 2010

Determina para qué valores de $a$ la recta $\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x - y + 3z = a \end{cases}$ y el plano de ecuación $3x + az = 4$ son paralelos.

Determina para qué valores de $a$ la recta $\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x - y + 3z = a \end{cases}$ y el plano de ecuación $3x + az = 4$ son paralelos.

Dibuja las dos curvas $y = x^3 - 1$, $y = -x^2 + x$. Halla el área comprendida entre ambas.

Dibuja las dos curvas $y = x^3 - 1$, $y = -x^2 + x$. Halla el área comprendida entre ambas.

Halla todas las matrices $2 \times 2$, que denotamos $A$, que cumplen $$A^2 = 0, \quad (1, 1) \cdot A = 0$$ ($0$ denota una matriz nula, $A^2 = A \cdot A$.)

Halla todas las matrices $2 \times 2$, que denotamos $A$, que cumplen $$A^2 = 0, \quad (1, 1) \cdot A = 0$$ ($0$ denota una matriz nula, $A^2 = A \cdot A$.)

Encuentra $a, b$ para que la función definida como $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ 2x^2 & \text{si } 2 < x \end{cases}$$ sea continua en los puntos $x = 1$, $x = 2$. Determina, para los valores de $a, b$ hallados, si la función es derivable en los puntos $x = 1$, $x = 2$.

Encuentra los valores $a, b, c$ para los que la función $$f(x) = a \ln x + bx + cx^2$$ tiene en el punto $(1, 0)$ un mínimo relativo y cumple $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1$.

Sean $r, s$ las rectas en el espacio dadas, respectivamente, por $$r \equiv \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$ Calcula para qué valores de $a$ las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición relativa que tienen las rectas para el resto de valores de $a$.

Sean $r, s$ las rectas en el espacio dadas, respectivamente, por $$r \equiv \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$ Calcula para qué valores de $a$ las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición relativa que tienen las rectas para el resto de valores de $a$.