Matemáticas II · Extremadura 2010

Diga, razonando la respuesta, qué valor debe tomar $c$ para que sea continua la función $$f(x) = \begin{cases} c & \text{si } x = 0 \\ \frac{e^x - 1 - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \end{cases}$$

Halle todos los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ en los que su recta tangente sea paralela a la recta de ecuación $2x - y = 0$.

Calcule el valor de la integral $$\int_{1}^{2} \left(\frac{x - 1}{8}\right)^{2/3} dx$$

Fijados los puntos $A = (1, 0, 0)$ y $B = (0, 1, 0)$, obtenga la relación que deben cumplir los números reales $\lambda$ y $\mu$ para que el punto $P = (\lambda, \mu, 0)$ sea tal que el triángulo $ABP$ tenga área igual a $1$.

Sea $\theta$ el ángulo formado por los vectores $\vec{u} = (\lambda, 1, 0)$ y $\vec{v} = (1, \mu, 0)$ donde $\lambda$ y $\mu$ son números reales.