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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2022

9 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: CADA ESTUDIANTE DEBERÁ ESCOGER TRES PROBLEMAS Y UNA CUESTIÓN Y DESARROLLARLOS COMPLETOS. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada problema se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. Cada cuestión se puntuará sobre un máximo de 1 punto. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de los tres problemas y la cuestión realizados. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados. CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones gráficas.

Ejercicio 1 · Opción CUESTIONES

1Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Dadas tres matrices AA, BB y CC se sabe que A⋅B⋅CA \cdot B \cdot C es una matriz de dimensiones 2×32 \times 3 y que A⋅BA \cdot B es de dimensiones 4×34 \times 3, determinar las dimensiones que debe tener CC.
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Ejercicio 1 · Opción PROBLEMAS

1Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
Una empresa de diseño ha comprado dos impresoras 3D para imprimir figuras y fichas para juegos de mesa. La primera impresora puede trabajar hasta 300 horas y necesita 6 horas para imprimir cada figura y 5 horas para cada ficha. La segunda impresora puede trabajar hasta 200 horas y necesita 2 horas para hacer cada figura y 5 horas para cada ficha. El beneficio neto que obtiene la empresa por imprimir cada figura es de 1 € mientras que el beneficio neto que obtiene por imprimir cada ficha es de 1,51{,}5 €. Si el número máximo de figuras ha de ser 25, calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas figuras y fichas ha de imprimir para obtener el máximo beneficio neto. ¿Cuál es ese beneficio neto máximo?
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Ejercicio 2 · Opción CUESTIONES

2Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
Dada f(x)=ax2+15xf(x) = \frac{ax^2 + 1}{5x}. Dar un valor de aa para que en x=1x = 1 haya un extremo relativo de f(x)f(x).
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Ejercicio 2 · Opción PROBLEMAS

2Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parámetro real aa:{3x+2y+az=15x+3y+3z=2x+y−z=1\begin{cases} 3x + 2y + az = 1 \\ 5x + 3y + 3z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{cases}
a
Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de aa.1,5 pts
b
Resolver el sistema para a=0a = 0.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción CUESTIONES

3Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones
La ficha técnica de una encuesta electoral realizada para las pasadas elecciones autonómicas indica que se ha encuestado a 1000 individuos con derecho a voto residentes en Castilla y León. La muestra se ha tomado mediante muestreo aleatorio simple. El error de estimación de la proporción de individuos de la población que vota al partido K es de ±3,2\pm 3{,}2 % fijada una confianza del 95,595{,}5 %. Para esta ficha técnica, identificar los siguientes elementos: Población, diseño muestral, tamaño muestral, parámetro estimado.
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Ejercicio 3 · Opción PROBLEMAS

3Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas
El consumo (medido en litros/hora) de combustible, en una explotación industrial durante un turno de 8 horas, se puede expresar por la función:f(t)={−t2+6t+3si 0≤t≤2−t+asi 2<t≤8f(t) = \begin{cases} -t^2 + 6t + 3 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\ -t + a & \text{si } 2 < t \leq 8 \end{cases}donde tt representa el tiempo desde el inicio del turno, medido en horas.
a
Establecer el valor de aa para que el consumo sea continuo a lo largo de todo el turno. A partir de la segunda hora ¿cuánto cambia el consumo por cada hora que pasa?1,5 pts
b
¿En qué momento se alcanza el máximo consumo? ¿Cuánto se está consumiendo en ese momento? ¿En qué periodo de tiempo el consumo supera los 8 litros/hora?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Problemas
El número de usuarios de una estación de metro a lo largo de un domingo evoluciona según la función N(x)=−2x3+75x2−600x+2000N(x) = -2x^3 + 75x^2 - 600x + 2000 con 0≤x<240 \leq x < 24, donde xx indica la hora del día.
a
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento del número de usuarios de la estación a lo largo del domingo.1,5 pts
b
¿A qué hora el número de usuarios es máximo y a qué hora es mínimo? Calcular el número de usuarios correspondiente a dichas horas.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Problemas
Una compañía ofrece seguros de cancelación de viajes a destinos exóticos: el 30 % de sus seguros se contratan para viajar al país A, el 50 % para viajar al país B y el resto para viajar al país C. Según estudios previos, se cancela el viaje en el 1 % de los seguros contratados para el país A, el 1,51{,}5 % de los contratados para B y el 3,53{,}5 % de los contratados para C. Elegido un seguro al azar,
a
Calcular la probabilidad de que sea un viaje que se cancela.1,5 pts
b
Si es un seguro de un viaje cancelado, calcular la probabilidad de que haya sido contratado para viajar al país C.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Problemas
La distancia recorrida para ir a clase por los estudiantes de cierta universidad se distribuye según un modelo normal de media μ\mu kilómetros y varianza 2,252{,}25. Se toma una muestra de 100 estudiantes, obteniéndose una distancia media de 4 kilómetros para esa muestra. Tomando esta información, se pide
a
Hallar el intervalo de confianza para la media μ\mu al nivel de confianza del 96 %.1,5 pts
b
¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que, al nivel de confianza del 95 %, el error máximo de estimación de la distancia media μ\mu sea de 0,10{,}1 kilómetros?1,5 pts
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