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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2022

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a SÓLO CINCO ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Seaf(x)=x3(1+x)2. f(x) = \frac{x^3}{(1 + x)^2}.
i
Halla el dominio, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función ff, en caso de que existan.
ii
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión si los hubiera.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Halla el valor de aa y bb para que la curva y=x3+ax2+bx+1y = x^3 + ax^2 + bx + 1 tenga en el punto (x0,−1)(x_0, -1) un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente valga 11.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
i
lim⁡x→0tg⁡x−xx−sen⁡x.\lim_{x \to 0} \frac{\tg x - x}{x - \sen x}.
ii
lim⁡x→∞(4x3−6x24x3−1)x2+1x.\lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x^3 - 6x^2}{4x^3 - 1} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{x+y+z=2x+2y+az=82x−y−z=1x−y+z=−2 \begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y + az = 8 \\ 2x - y - z = 1 \\ x - y + z = -2 \end{cases}
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Calcula sin desarrollar el valor del siguiente determinante:∣2bc+a2ab+c2ca+b∣. \begin{vmatrix} 2 & b & c + a \\ 2 & a & b + c \\ 2 & c & a + b \end{vmatrix}. Justifica en cada paso la propiedad de determinante que has utilizado.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Resuelve la siguiente ecuación matricial:(520001310)⋅X=(010100001) \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Determina según los valores del parámetro real aa la posición relativa de la recta{ax+3y−2z=42x−y+z=2 \begin{cases} ax + 3y - 2z = 4 \\ 2x - y + z = 2 \end{cases} y el plano de ecuación 6x+5y−3z=26x + 5y - 3z = 2.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Estudia según los valores del parámetro real aa la posición relativa de las rectas siguientes:{ax+3y−2z=122x+5y−z=6 \begin{cases} ax + 3y - 2z = 12 \\ 2x + 5y - z = 6 \end{cases} {x=5+3λy=1−λz=6+4λ \begin{cases} x = 5 + 3\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 6 + 4\lambda \end{cases}
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Estudia la posible dependencia de los sucesos AA y BB, en los siguientes casos:
i
AA y BB son incompatibles y ambos sucesos de probabilidad no nula.
ii
BB está incluido en AA, y BB es un suceso de probabilidad no nula.
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La presión arterial sistólica de una muestra de adolescentes sigue una distribución normal de media 120120 y desviación típica 1212. Si se elige un adolescente al azar, halla:
i
la probabilidad de que su presión arterial sea superior a 132132;
ii
la probabilidad de que su presión arterial esté entre 9696 y 144144.
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