Matemáticas II · La Rioja 2022

Sea $$f(x) = \frac{x^3}{(1 + x)^2}.$$

Halla el valor de $a$ y $b$ para que la curva $y = x^3 + ax^2 + bx + 1$ tenga en el punto $(x_0, -1)$ un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente valga $1$.

Calcula los siguientes límites:

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y + az = 8 \\ 2x - y - z = 1 \\ x - y + z = -2 \end{cases}$$

Calcula sin desarrollar el valor del siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} 2 & b & c + a \\ 2 & a & b + c \\ 2 & c & a + b \end{vmatrix}.$$ Justifica en cada paso la propiedad de determinante que has utilizado.

Resuelve la siguiente ecuación matricial: $$\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Determina según los valores del parámetro real $a$ la posición relativa de la recta $$\begin{cases} ax + 3y - 2z = 4 \\ 2x - y + z = 2 \end{cases}$$ y el plano de ecuación $6x + 5y - 3z = 2$.

Estudia según los valores del parámetro real $a$ la posición relativa de las rectas siguientes: $$\begin{cases} ax + 3y - 2z = 12 \\ 2x + 5y - z = 6 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 5 + 3\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 6 + 4\lambda \end{cases}$$

Estudia la posible dependencia de los sucesos $A$ y $B$, en los siguientes casos:

La presión arterial sistólica de una muestra de adolescentes sigue una distribución normal de media $120$ y desviación típica $12$. Si se elige un adolescente al azar, halla: