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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2014

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1,5 puntos
a
Despeja la matriz XX en la siguiente ecuación matricial: I3−2⋅X+X⋅A=BI^3 - 2 \cdot X + X \cdot A = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (II es la matriz identidad).0,75 pts
b
Dada la ecuación matricial: (−1011)⋅X=(2003)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, despeja y calcula la matriz XX.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Una compañía de transportes dispone de dos camiones A y B para realizar un determinado trayecto. El camión A debe hacer tantos trayectos o más que el camión B, pero no puede sobrepasar 4 trayectos. La compañía obtiene un beneficio de 18000 euros por cada trayecto del camión A y 12000 euros por cada trayecto del camión B. Se desea que las ganancias sean máximas.
a
Expresa la función objetivo.0,25 pts
b
Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.0,75 pts
c
Halla el número de trayectos que debe efectuar cada camión para obtener el máximo beneficio. Calcula dicho beneficio máximo.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Una hamburguesería que está en promoción ayer ofertó tres menús: A, B y C. El menú A cuesta 3 euros, el menú B cuesta 4 euros y el menú C cuesta 5 euros. Ayer ingresó 320 euros por la venta de estos menús. Se sabe que se vendió el triple de unidades del menú B que el del C. Se sabe también que el número de unidades vendidas del menú B coincide con la media aritmética de las unidades vendidas de los menús A y C.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número de unidades vendidas de cada tipo de menú.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Una empresa fabrica tres tipos de paneles de fachada eficientes: A, B y C. Los paneles del tipo A necesitan 5 horas de montaje, 2 de pintura y 1 hora de acabado. Los paneles del tipo B necesitan 6 horas de montaje, 3 horas de pintura y 1 hora de acabado. Y para la fabricación de los paneles del tipo C se emplean 7 horas de montaje, 2 horas de pintura y 1 hora de acabado. Se dispone de 53 horas de montaje, 20 horas de pintura y 9 horas de acabado.
a
Plantea el sistema que nos permita obtener el número de paneles de fachada eficientes de cada tipo que se podrán fabricar empleando todas las horas disponibles.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={x2+2xsi x<−1tsi −1≤x≤1x2−2xsi x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x < -1 \\ t & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ x^2 - 2x & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=1x = 1.0,5 pts
b
Para t=0t = 0, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={(x+2)2si x<−12si −1≤x≤1(x−2)2si x>1f(x) = \begin{cases} (x + 2)^2 & \text{si } x < -1 \\ 2 & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ (x - 2)^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Estudia su continuidad en x=−1x = -1.0,5 pts
b
Calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (1,4)(1, 4).0,5 pts
c
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (1,+∞)(1, +\infty).0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
En una localidad la concentración de polen de olivo, medida en granos de polen/m3\text{m}^3 de aire, se puede ajustar a la función f(t)=t33−22t2+448t−2600f(t) = \frac{t^3}{3} - 22t^2 + 448t - 2600, siendo tt el tiempo medido en semanas, 12<t<3212 < t < 32.
a
¿Qué semana del año se registra la máxima concentración de polen de olivo y cuál fue dicha cantidad?0,75 pts
b
¿Qué semana se registra la mínima concentración de polen de olivo en el aire y cuál fue dicha cantidad?0,75 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
Calcula los valores de los parámetros a,b,ca, b, c y dd para que la función f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tenga un máximo relativo en el punto (0,2)(0, 2) y un punto de inflexión en (1,0)(1, 0).
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
Se piensa que un estudiante de bachillerato que estudie normal, sobre 10 horas semanales aparte de las clases, tiene una probabilidad de 0,90{,}9 de aprobar una asignatura. Suponiendo que aprobar o no una asignatura sea independiente de aprobar o no las demás:
a
¿Cuál es la probabilidad de que apruebe dos asignaturas de dos que ha estudiado normal?0,25 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una asignatura de dos que ha estudiado normal?0,5 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que apruebe exactamente una asignatura de dos que ha estudiado normal?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
En un temario para la oposición a una plaza hay 20 temas de los cuales se eligen dos al azar y el candidato elige uno de ellos para desarrollarlo. Obviamente el mismo tema no puede salir dos veces. Si un candidato se sabe 15 temas:
a
¿Cuál es la probabilidad de que se sepa al menos un tema de los dos elegidos al azar?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que se sepa los dos temas elegidos al azar?0,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Para el estudio de la polución del aire, se mide la concentración de dióxido de nitrógeno por metro cúbico. Se sabe que en los meses de invierno en una ciudad española, la concentración de esta sustancia sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=8 μg/m3\sigma = 8\,\mu\text{g/m}^3. Se eligen aleatoriamente 15 días de invierno y se mide la polución, la media de la muestra es de 35 μg/m335\,\mu\text{g/m}^3 de dióxido de nitrógeno.
a
Halla el intervalo de confianza para la media poblacional de la concentración de dióxido de nitrógeno por metro cúbico en dicha ciudad, con un nivel de confianza del 95 %.1 pt
b
¿Se puede admitir que la media poblacional sea μ=40\mu = 40 con un nivel de confianza del 95 %? Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. Razona tus respuestas.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
El tiempo medio que tarda una empresa de mensajería en recoger un paquete en el domicilio de un cliente sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=10\sigma = 10 minutos. Se eligen al azar 10 encargos y se mide el tiempo que tardan los empleados en recoger los paquetes, siendo estos: 15, 19, 20, 22, 24, 25, 27, 28, 30 y 32 minutos respectivamente.
a
Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo medio que tarda la empresa en recoger un paquete del domicilio del cliente, con un nivel de confianza del 95 %.1,25 pts
b
¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto?0,75 pts
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