Matemáticas II · Andalucía 2023

De entre todos los rectángulos de diagonal $10\,\text{cm}$ (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

Considera la función $f(x) = \frac{1}{x|x|}$, para $x \neq 0$.

Determina la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$, $f'(e) = e$ y $f''(x) = 2\ln(x) + 1$, para todo $x > 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Considera las funciones $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = |x^2 - 1|$ y $g(x) = x + 5$.

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & x & x \\ z & z & y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Determina el punto simétrico de $A(2, -4, -3)$ con respecto al plano que contiene a los puntos $B(1, 1, 2)$, $C(0, 1/3, 1)$ y $D(-3, 0, 3)$.

Dados los puntos $O(0, 0, 0)$, $A(2, -1, 0)$, $B(3, 0, x)$ y $C(-x, 1, -1)$, los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ determinan un paralelepípedo.