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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2023OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm10\,\text{cm} (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considera la función f(x)=1x∣x∣f(x) = \frac{1}{x|x|}, para x≠0x \neq 0.
a
Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de ff, así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.1 pt
b
Estudia y calcula las asíntotas de la función. Esboza su gráfica.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Determina la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto (1,0)(1, 0), f′(e)=ef'(e) = e y f′′(x)=2ln⁡(x)+1f''(x) = 2\ln(x) + 1, para todo x>0x > 0 (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definidas por f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| y g(x)=x+5g(x) = x + 5.
a
Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.1,25 pts
b
Determina el área del recinto anterior.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Sean las matricesA=(m+11m−1111m−11m+1),B=(042004221)yC=(001010100). A = \begin{pmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcula mm para que la matriz AA tenga inversa.1 pt
b
Para m=0m = 0, resuelve, si es posible, la ecuación matricial 12AX+C4=B\frac{1}{2}AX + C^4 = B.1,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Considera las matrices A=(xyzyxxzzy)A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & x & x \\ z & z & y \end{pmatrix}, B=(α11)B = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \end{pmatrix} y C=(111)C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Discute el sistema BA=CBA = C, según los valores de α\alpha.1,5 pts
b
Resuelve el sistema, si es posible, para α=0\alpha = 0 y para α=1\alpha = 1.1 pt
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Determina el punto simétrico de A(2,−4,−3)A(2, -4, -3) con respecto al plano que contiene a los puntos B(1,1,2)B(1, 1, 2), C(0,1/3,1)C(0, 1/3, 1) y D(−3,0,3)D(-3, 0, 3).
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Dados los puntos O(0,0,0)O(0, 0, 0), A(2,−1,0)A(2, -1, 0), B(3,0,x)B(3, 0, x) y C(−x,1,−1)C(-x, 1, -1), los vectores OA⃗\vec{OA}, OB⃗\vec{OB} y OC⃗\vec{OC} determinan un paralelepípedo.
a
Calcula los posibles valores de xx sabiendo que el volumen del paralelepípedo es 5 unidades cúbicas.1,5 pts
b
Para x=1x = 1, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices OO, AA y BB.1 pt
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