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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2017

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. • El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro mm. (NO es necesario resolverlo){2x+y−z=1x+my+z=23x+y−mz=3\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + my + z = 2 \\ 3x + y - mz = 3 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dado el punto M(1,−3,7)M(1, -3, 7), obtener su simétrico respecto a la recta que pasa por los puntos A(1,−3,4)A(1, -3, 4) y B(0,−4,1)B(0, -4, 1).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x4+Ax3+Bx2+Cx+7f(x) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + 7
a
Calcula AA, BB, y CC sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa x=0x = 0 es horizontal, que además la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=2x = 2 y que corta al eje OXOX en x=1x = 1.1,25 pts
b
Para los valores obtenidos calcula los máximos y los mínimos de la función.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
La curva y=12x2y = \frac{1}{2}x^2 divide al rectángulo A(0,0)A(0,0), B(0,2)B(0, 2), C(4,2)C(4,2), D(4,0)D(4, 0) en dos recintos.
a
Dibuja la gráfica de la función y el rectángulo ABCDABCD.1 pt
b
Calcula el área de cada uno de los recintos.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Calcular la potencia A2017A^{2017} de la matriz A=(01−10)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(m−200−2001m)A = \begin{pmatrix} m & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}
a
¿Para qué valores de mm la matriz AA posee inversa? Estudiar el rango de la matriz en función del parámetro mm.1,25 pts
b
Hallar el valor mm para que se cumpla la igualdad A2=4(100010001)A^2 = 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcula la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la recta r≡x2=y−3−2=z−13r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 1}{3} y que pasa por el punto A(14,3,3)A(14, 3, 3).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x1−x2f(x) = \frac{x}{1 - x^2}
a
¿Cuál es el dominio de la función? ¿Para qué intervalos es creciente?0,5 pts
b
Razonar si tiene máximos y mínimos. En caso afirmativo hallarlos.0,5 pts
c
Calcula la recta tangente a dicha curva en el punto cuya abscisa es x=0x = 0.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Resolver la siguiente integral: ∫x2+5x3−2x2+xdx\int \frac{x^2 + 5}{x^3 - 2x^2 + x} dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Un autobús transporta 60 viajeros de tres tipos. Hay viajeros que pagan el billete entero, que vale 1,21{,}2 euros. Otro grupo de viajeros abona el 80%80\% y un tercer grupo abona el 50%50\%. La recaudación del autobús fue de 46,5646{,}56 euros. Calcular el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de los viajeros con mayor descuento es el doble que el número del resto de viajeros.
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