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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determina la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f′(x)=(2x+1)e−xf'(x) = (2x + 1)e^{-x} y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.2 pts
b
Calcula la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(101110002)yB=(−1111−1100−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
a
Halla, si es posible, A−1A^{-1} y B−1B^{-1}.1 pt
b
Halla el determinante de AB2013AtA B^{2013} A^t siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.0,25 pts
c
Calcula la matriz XX que satisface AX−B=ABAX - B = AB.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π\pi de ecuación 2x+y+3z−6=02x + y + 3z - 6 = 0.
a
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π\pi con los ejes coordenados.1,5 pts
b
Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano π\pi y los planos coordenados.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=2ln⁡(x)x2f(x) = \frac{2 \ln(x)}{x^2} (donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
a
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,75 pts
b
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de ff.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por g(x)=−x2+6x−5g(x) = -x^2 + 6x - 5.
a
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de gg en el punto de abscisa x=4x = 4.0,75 pts
b
Esboza el recinto limitado por la gráfica de gg y la recta x−2y+2=0x - 2y + 2 = 0. Calcula el área de este recinto.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,{2x−4y+6z=62x−my+2z=m+1−3x+6y−3mz=−9\begin{cases} 2x - 4y + 6z = 6 \\ \phantom{2x - } my + 2z = m + 1 \\ -3x + 6y - 3mz = -9 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores del parámetro mm.1,75 pts
b
Resuélvelo para m=3m = 3. Para dicho valor de mm, calcula, si es posible, una solución en la que y=0y = 0.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(−1,3,1)B(-1, 3, 1), C(2,1,2)C(2, 1, 2) y D(1,0,4)D(1, 0, 4).
a
Halla la ecuación del plano que contiene a AA, BB y CC.1 pt
b
Halla el punto simétrico de DD respecto del plano x−y−5z+9=0x - y - 5z + 9 = 0.1,5 pts
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