Matemáticas CCSS · Cataluña 2013

Un equipo científico ha estudiado la evolución de la población de una pequeña isla de la Polinesia. Como conclusión, ha determinado que, para obtener una buena estimación de la población, hay que usar la expresión $$P(t) = 400 + 18t - 6t^{\frac{3}{2}},$$ donde $t$ indica los años transcurridos desde el principio del estudio.

He ido a una tienda y he decidido comprar unos pantalones, una camisa y unos zapatos. Si hago la compra hoy, me costará todo junto $120$ €. Además, actualmente, la camisa y los zapatos cuestan, juntos, el doble de los pantalones. Si me espero una semana, los pantalones y los zapatos tendrán un descuento del $20\%$, mientras que la camisa solo tendrá un descuento del $10\%$. De esta manera, pagaré $99$ €. ¿Cuál es el precio inicial de cada artículo?

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ b & -1 \end{pmatrix}.$$

Dadas las funciones $f(x) = x^3 + 5x^2 + (3 + k)x$ y $g(x) = x^2 + kx$.

En un huerto hay plantados 50 manzanos. Cada árbol produce 800 manzanas. Por cada árbol adicional que plantemos, la producción de cada árbol se reduce en 10 manzanas. ¿Cuántos árboles más nos hace falta plantar para obtener la producción más alta posible? ¿Cuál es esta producción?

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$

Los beneficios de una compañía de transporte de viajeros vienen dados por la función $B(x) = ax^2 + bx + c$, donde $x$ es el precio que la compañía cobra por cada viaje. Sabemos que si cobran $40$ € por viaje, los beneficios son $19.000$ €. Además, si aumentamos el precio un $25\%$, el beneficio que se obtiene es el máximo, $20.000$ €. Teniendo en cuenta estos datos, determine los valores de $a$, $b$ y $c$.

Una empresa agrícola ha recogido un total de 40 toneladas de fruta que producen un beneficio de $0{,}80$ €/kg. Cada semana que pasa se produce una pérdida de $400$ kg de fruta, pero el beneficio aumenta en un céntimo por cada kilogramo.

Un frutero va al mercado central con su furgoneta, que puede cargar $700$ kg, y con $500$ € en el bolsillo, a comprar fruta para su tienda. Encuentra manzanas a $0{,}80$ €/kg y naranjas a $0{,}50$ €/kg. Calcula que podrá vender las manzanas a $0{,}90$ €/kg y las naranjas a $0{,}58$ €/kg. ¿Qué cantidad de manzanas y de naranjas le conviene comprar si quiere obtener el beneficio más grande posible?

Según unos estudios de laboratorio, la evolución de la población en un cultivo de bacterias a lo largo del tiempo sigue la función $f(t) = 30 \cdot (1 - e^{-t}) + 10$, donde $t$ son los días que han transcurrido desde el inicio del experimento, y $f(t)$ es la población, en millones de bacterias.

Determine los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ que hacen que las curvas de ecuación $f(x) = x^3 + ax + b$ y $g(x) = x^3 + cx^2 - 2$ tengan la misma recta tangente en el punto $(1, 1)$.

Tengo un problema: fabrico televisores de LED, que me dejan un beneficio de $100$ € cada uno, y televisores de plasma, que me dan la mitad de beneficio unitario. No puedo producir más de 30 televisores al día, y la diferencia entre la producción de los de LED y los de plasma es, como máximo, de cuatro unidades. ¿Cuántos tengo que producir de cada clase para ganar el máximo?