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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El/La estudiante debe responder solamente las preguntas de una de las opciones. La puntuación máxima por preguntas es la siguiente: 1.ª pregunta: 2 puntos; 2.ª pregunta: 3 puntos; 3.ª pregunta: 3 puntos; 4.ª pregunta: 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Da respuesta a los apartados siguientes:
a
Despeja XX en la ecuación XA+B=CXA + B = C, sabiendo que AA es una matriz invertible.
b
Calcula XX tal que XA+B=CXA + B = C si A=(2134)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B=(1001)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y C=(0112)C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Da respuesta a los apartados siguientes:
a
Estudia los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de la función f(x)=x2ln⁡xf(x) = x^2 \ln x.
b
Considérese un triángulo tal que: dos de sus vértices son el origen O(0,0)O(0,0) y el punto P(1,3)P(1,3), uno de sus lados está sobre el eje XX y otro sobre la tangente en P(1,3)P(1,3) a la gráfica de la parábola y=4−x2y = 4 - x^2. Se pide calcular las coordenadas del tercer vértice, dibujar el triángulo y calcular, por separado, el área de las dos regiones en las que el triángulo queda dividido por la parábola y=4−x2y = 4 - x^2.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Se pide:
a
Estudiar la posición relativa de los planos π1:x+my+z+2=0\pi_1: x + my + z + 2 = 0 y π2:mx+y+z+m=0\pi_2: mx + y + z + m = 0 en función de mm.
b
Calcular el valor que deben tomar aa y bb para que los puntos A(0,a,1)A(0, a, 1), B(−1,2,1)B(-1, 2, 1) y C(8,1,b)C(8, 1, b) estén alineados.
c
Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta rr que pasa por los puntos P(−1,2,1)P(-1, 2, 1) y Q(8,1,1)Q(8, 1, 1); y la ecuación implícita del plano perpendicular a rr que pasa por el punto R(1,1,1)R(1, 1, 1).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Da respuesta a los apartados siguientes:
a
La probabilidad de que un chico recuerde regar su rosal durante una cierta semana es de 23\frac{2}{3}. Si se riega, el rosal sobrevive con probabilidad 0,70{,}7; si no, lo hace con probabilidad 0,20{,}2. Al finalizar la semana, el rosal ha sobrevivido. ¿Cuál es la probabilidad de que el chico no lo haya regado?
b
Una fábrica produce piezas cuyo grosor sigue una distribución normal de media 8 cm8\,\text{cm} y desviación típica 0,01 cm0{,}01\,\text{cm}. Calcula la probabilidad de que una pieza tenga un grosor comprendido entre 7,987{,}98 y 8,02 cm8{,}02\,\text{cm}.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Da respuesta a los apartados siguientes:
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema: {x−y+3z=mmy−2z=−2x+(m−1)y+(m+3)z=m\begin{cases} x - y + 3z = m \\ my - 2z = -2 \\ x + (m-1)y + (m+3)z = m \end{cases}
b
Resuélvelo, si es posible, en los casos m=0m = 0 y m=2m = 2.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Da respuesta a los apartados siguientes:
a
De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola y=4−x2y = 4 - x^2, un cateto sobre el eje XX y el otro paralelo al eje YY, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b
Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Se pide:
a
Para el plano π:3x+2y−z=0\pi: 3x + 2y - z = 0 y la recta r:x−21=y+1−2=z3r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z}{3}, calcular el punto de corte de rr con π\pi y obtener la ecuación implícita del plano π∗\pi^* que es perpendicular a π\pi y contiene a rr.
b
Estudiar la posición relativa de los planos π1:2x−5y−4z−9=0\pi_1: 2x - 5y - 4z - 9 = 0 y π2:x=0\pi_2: x = 0, y calcular el ángulo α∈[0∘,90∘]\alpha \in [0^\circ, 90^\circ] que forman.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Da respuesta a los apartados siguientes:
a
Sean AA y BB dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que P(A)=0,2P(A) = 0{,}2, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4 y P(A∪B)=0,5P(A \cup B) = 0{,}5. Calcula P(Aˉ)P(\bar{A}), P(Bˉ)P(\bar{B}), P(A∩B)P(A \cap B) y P(Aˉ∪Bˉ)P(\bar{A} \cup \bar{B}). Razona si AA y BB son o no sucesos independientes.
b
La probabilidad de que un determinado jugador de fútbol marque gol desde el punto de penalti es p=0,7p = 0{,}7. Si lanza 5 penaltis, calcula las siguientes tres probabilidades: de que no marque ningún gol; de que marque por lo menos 2 goles; y de que marque 5 goles. Si lanza 2100 penaltis, calcula la probabilidad de que marque por lo menos 1450 goles. Se está asumiendo que los lanzamientos son sucesos independientes.
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