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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2017

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. • El examen consta de cinco ejercicios. • Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. • Se podrán utilizar calculadoras no programables.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro aa{ax+2y+6z=02x+ay+4z=22x+ay+6z=a−2\begin{cases} ax + 2y + 6z = 0 \\ 2x + ay + 4z = 2 \\ 2x + ay + 6z = a - 2 \end{cases}En caso de existir, encontrar la solución para el caso a=0a = 0.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la recta que pasa por los puntos A(0,2,3)A(0, 2, 3) y B(−1,1,1)B(-1, 1, 1) encontrar un punto PP de dicha recta tal que la distancia de PP al punto M(1,0,1)M(1, 0, 1) sea la misma que la distancia de PP al punto N(0,4,2)N(0, 4, 2).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sabemos que la recta y=2x−10y = 2x - 10 es tangente a la gráfica de la funciónf(x)=x3+Ax2+Bx−1 en el punto P(1,−8).f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx - 1 \text{ en el punto } P(1, -8).
a
Calcula los valores de AA y BB.1,5 pts
b
Calcular los puntos de corte de la función f(x)f(x) con la recta de ecuación y=−15x−1y = -15x - 1.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Resolver la siguiente integral:∫(x+5)e3xdx\int (x + 5) e^{3x} dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La suma de 45 números seguidos nos da 1890. ¿Cuál es el menor y el mayor de los números que componen esa suma?
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Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Calcula para qué valor, o valores, de xx admite inversa la siguiente matrizA=(11xx0−1−6−10)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ x & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}1,5 pts
b
En caso de existir, calcula la inversa de AA para x=−3x = -3.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a los planos de ecuaciones:π1≡x−3y+z=0yπ2≡2x−y+3z−5=0,\pi_1 \equiv x - 3y + z = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv 2x - y + 3z - 5 = 0,y que pasa por el punto P(2,6,5)P(2, 6, 5).1 pt
b
Encontrar la distancia del primer plano a la recta obtenida.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función y=x3+4x2y = \frac{x^3 + 4}{x^2}:
a
Razonar la existencia de máximos y mínimos de la función. Si existen hallarlos.1 pt
b
¿Para qué intervalos es creciente la función?0,5 pts
c
Hallar todas las asíntotas de la función.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular el área del recinto limitado por las siguientes parábolas, realizando un dibujo del mismo.y=−x2−10x,y=(x+4)2y = -x^2 - 10x, \quad y = (x + 4)^2
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dado el número N=22017+52017+62017N = 2^{2017} + 5^{2017} + 6^{2017} sea Z=N2017Z = N^{2017}. Contestar razonadamente a la siguiente pregunta: ¿es ZZ múltiplo de 10?
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