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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2015

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1,5 puntos
a
Despeja la matriz XX en la siguiente ecuación matricial: X⋅A+3X=BX \cdot A + 3X = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden.0,75 pts
b
Dada la ecuación matricial: (3121)⋅X=(−2022)\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, despeja y calcula la matriz XX.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimizar la función z=−x−10yz = -x - 10y, sujeta a las siguientes restricciones: x≤4x \leq 4 x+3y≤6x + 3y \leq 6 x≥0,y≥0x \geq 0, \quad y \geq 0
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina los vértices de la región factible.0,25 pts
c
Indica la solución óptima del problema dado y su valor.0,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
En un obrador de mazapán de Toledo se venden, en cajas de medio kilo, delicias de mazapán a 1515 euros, pastas de piñón a 2020 euros y pastas de almendras a 1010 euros. En un día que se vendieron 7575 cajas de dichos dulces, se recaudaron en total 10751075 euros. Sabiendo que el número de cajas vendidas de delicias de mazapán fue la semisuma de las cajas de pastas de piñón y pastas de almendras:
a
Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permite obtener el número de cajas vendidas de cada clase de dulce.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Una fábrica de dulces elabora cajas de tres tipos de bombones: bombón crocante, bombón mazapán y bombón gianduja; para su elaboración se utiliza azúcar, almendra y chocolate. La siguiente tabla muestra la cantidad de estas materias primas que se utilizan para fabricar una caja de cada tipo de bombón. Si se dispone de 1250012500 gramos de azúcar, 1300013000 gramos de almendras y 1200012000 gramos de chocolate.
Caja de bombón crocanteCaja de bombón mazapánCaja de bombón gianduja
Azúcar200 gramos100 gramos200 gramos
Almendra100 gramos200 gramos200 gramos
Chocolate200 gramos200 gramos100 gramos
a
Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número de cajas de bombones de cada tipo que se pueden fabricar utilizando el total de la materia prima disponible.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={(x+t)2si x<01si x=0(x−t)2si x>0f(x) = \begin{cases} (x + t)^2 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \\ (x - t)^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=0x = 0?0,5 pts
b
Calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (−∞,0)(-\infty, 0) con t=4t = 4.0,5 pts
c
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (−∞,0)(-\infty, 0) con t=4t = 4.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={∣x∣−tsi x≤2x2−8x+13si x>2f(x) = \begin{cases} |x| - t & \text{si } x \leq 2 \\ x^2 - 8x + 13 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=2x = 2.0,5 pts
b
Para t=1t = 1, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
Dada la función polinómica f(x)=ax3+bx2+cx+3f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 3, calcula los valores de los parámetros aa, bb y cc, sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la curva en x=0x=0 es −24-24, que dicha función tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x=2x=2 y un punto de inflexión en x=−1x=-1.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
La función que representa el costo por kilómetro, en miles de euros, de la construcción de una canalización de agua es C(x)=x3−9x2+24xC(x) = x^3 - 9x^2 + 24x, con 0≤x≤4,50 \leq x \leq 4{,}5.
a
¿Cuál fue el coste de la construcción del primer kilómetro (x=1x=1)?0,25 pts
b
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento del costo de la obra.0,75 pts
c
¿En qué kilómetro el coste de la construcción fue máximo y a cuánto ascendió?0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
Una caja contiene ocho tornillos, de los que dos son defectuosos.
a
Si extraemos dos tornillos sin reemplazamiento, y el primero ha resultado ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo también lo sea?0,75 pts
b
Si vamos extrayendo tornillos sin reemplazamiento, uno tras otro, hasta localizar los dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de necesitar exactamente tres extracciones para localizarlos?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
El 60%60\% de las compras de un supermercado las realizan mujeres. El 20%20\% de las compras realizadas por estas supera los 3030 euros, mientras que el 30%30\% de las realizadas por hombres supera esa cantidad.
a
Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 3030 euros?0,75 pts
b
Si se sabe que un ticket de compra no supera los 3030 euros, ¿cuál es la probabilidad de que la compra la hiciera un hombre?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
El contenido de nicotina en los cigarros de una marca determinada, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=2\sigma = 2 mg. Se toma una muestra aleatoria de 150150 cigarros y se observa que la media del contenido en nicotina de la muestra es 99 mg.
a
Calcula con un nivel de confianza del 95%95\% el intervalo de confianza para la media poblacional del contenido de nicotina de los cigarros de esa marca.1 pt
b
El fabricante afirma que el contenido en nicotina de estos cigarros es de sólo 8,48{,}4 mg. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 95%95\%? ¿y con un nivel de significación igual a 0,20{,}2? Razona tus respuestas.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Un fabricante de ordenadores sabe que el tiempo de duración, en meses, de un componente del ordenador que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 66 meses. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95%95\% se ha obtenido para la media poblacional el intervalo de confianza (23,0398,24,9602)(23{,}0398, 24{,}9602).
a
Calcula el valor que se obtuvo para la media de la muestra y el tamaño de la muestra utilizado.1,25 pts
b
¿Cuál hubiera sido el error máximo admisible de su estimación si hubiera tomado una muestra de tamaño 250250?0,75 pts
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