Matemáticas II · Andalucía 2013

Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = x e^{\frac{1}{x}}$ para $x \geq -1, x \neq 0$.

Sean $f$ y $g$ las funciones definidas por $f(x) = 2 - x$ y $g(x) = \frac{2}{x + 1}$ para $x \neq -1$.

Calcula $\int_{2}^{4} \frac{e^x}{1 + \sqrt{e^x}} dx$. Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t = \sqrt{e^x}$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, $$\begin{cases} x + 2y + z = 0 \\ x - y + mz = m - 2 \\ mx + y + 3z = m - 2 \end{cases}$$

Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es $\det(M) = 2$. Calcula:

Determina el punto de la recta $r \equiv \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = z + 1$ que equidista de los planos $$\pi_1 \equiv x - y + 3z + 2 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv \begin{cases} x = -4 + \lambda - 3\mu \\ y = 1 + \lambda \\ z = \mu \end{cases}$$

Considera los puntos $A(0, 5, 3)$, $B(-1, 4, 3)$, $C(1, 2, 1)$ y $D(2, 3, 1)$.