Matemáticas II · País Vasco 2014

Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} -x + my + 2z = m \\ 2x + my - z = 2 \\ mx - y + 2z = m \end{cases}$$

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} c + d & d \\ 2c & c + d \end{pmatrix}$

Dado el punto $P(2, -1, 3)$ y la recta $r \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 7}{5} = \frac{z - 2}{2}$

Dada la recta $r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x - y + 4z = 1 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 3x - 5y + Az = -31$.

Se sabe que la suma de los cuadrados de dos números positivos $A$ y $B$ vale $32$. Calcular dichos números para que su producto $A \cdot B$ sea máximo.

Dibujar el recinto encerrado entre la gráfica de la función: $y = x^2 - 6x$, y la de la función: $y = 3x$ y calcular su área.

Hallar la integral indefinida $$\int \frac{3x + 7}{(x^2 - 3x + 2)(x - 3)} \, dx,$$ explicando el método utilizado para dicho cálculo.

Se hacen variar las tres dimensiones de una caja cúbica (las tres dimensiones iguales) de la siguiente manera: se aumenta un $20\%$ su altura, se disminuye un $20\%$ su anchura y se mantiene la misma dimensión para su largura.

Al sumar $21$ múltiplos seguidos de $3$ obtenemos el valor $1260$. En esta suma ¿cuál es el primer múltiplo de $3$ y el último?