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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2014

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales:{−x+my+2z=m2x+my−z=2mx−y+2z=m\begin{cases} -x + my + 2z = m \\ 2x + my - z = 2 \\ mx - y + 2z = m \end{cases}
a
Discutir el sistema según los valores del parámetro mm.1 pt
b
Para m=−1m = -1 resolver en caso de que sea posible. Si es imposible explicar por qué.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dado el punto P(2,−1,3)P(2, -1, 3) y la recta r≡x3=y+75=z−22r \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 7}{5} = \frac{z - 2}{2}
a
Calcular la proyección del punto PP sobre la recta rr.1 pt
b
Calcular la distancia de PP a rr.0,5 pts
c
Obtener el simétrico del punto PP respecto a la recta rr.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Dada la función f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1 estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos.1 pt
b
Trazar un dibujo aproximado de la gráfica de ff y contestar de forma razonada a la siguiente pregunta: ¿cuántos valores de xx satisfacen f(x)=0f(x) = 0?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibujar el recinto encerrado entre la gráfica de la función: y=x2−6xy = x^2 - 6x, y la de la función: y=3xy = 3x y calcular su área.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Se hacen variar las tres dimensiones de una caja cúbica (las tres dimensiones iguales) de la siguiente manera: se aumenta un 20%20\% su altura, se disminuye un 20%20\% su anchura y se mantiene la misma dimensión para su largura.
a
¿Afecta esta variación a su volumen? ¿cuánto?1 pt
b
¿El área total de la nueva caja disminuye en más del veinte por ciento?1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(c+dd2cc+d)A = \begin{pmatrix} c + d & d \\ 2c & c + d \end{pmatrix}
a
Determinar para qué valores de cc y dd la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Determinar la inversa de la matriz A2A^2 en el caso c=1c = 1; d=−2d = -2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la recta r≡{2x−y+z=0x−y+4z=1r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x - y + 4z = 1 \end{cases} y el plano π≡3x−5y+Az=−31\pi \equiv 3x - 5y + Az = -31.
a
Calcular el valor del parámetro AA para que la recta y el plano sean paralelos.1 pt
b
Para A=12A = 12 calcular la intersección de la recta y el plano.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se sabe que la suma de los cuadrados de dos números positivos AA y BB vale 3232. Calcular dichos números para que su producto A⋅BA \cdot B sea máximo.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Hallar la integral indefinida∫3x+7(x2−3x+2)(x−3) dx,\int \frac{3x + 7}{(x^2 - 3x + 2)(x - 3)} \, dx,explicando el método utilizado para dicho cálculo.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Al sumar 2121 múltiplos seguidos de 33 obtenemos el valor 12601260. En esta suma ¿cuál es el primer múltiplo de 33 y el último?
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