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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
BLOQUE ABloque a

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=a+bcos⁡(x)+csen⁡(x)f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x) Halla a,ba, b y cc sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa x=π2x = \frac{\pi}{2} una recta tangente horizontal con y=1y = 1 y que la recta y=x−1y = x - 1 corta a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
BLOQUE ABloque a

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=(x−12)e−x2f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2}.
a)1,5 pts
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
b)1 pts
Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
BLOQUE BBloque b

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Sean f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} las funciones definidas por f(x)=−x2+7f(x) = -x^2 + 7 y g(x)=∣x2−1∣g(x) = |x^2 - 1|.
a)1 pts
Halla los puntos de intersección de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
b)1,5 pts
Calcula el área de dicho recinto.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
BLOQUE BBloque b

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Halla ∫0π2excos⁡(x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) dx.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
BLOQUE CBloque c

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera la matriz A=(−1001)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Halla todas las matrices XX que cumplen XA=−AXtXA = -AX^t y X2=IX^2 = I, donde II es la matriz identidad de orden 2.
b)1,25 pts
Halla todas las matrices YY que cumplen YA=AYYA = AY, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante −1-1.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
BLOQUE CBloque c

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Un proveedor de perfumerías vende a sus comerciantes tres tipos de perfumes A, B y C. En un primer pedido una tienda ha encargado 20 perfumes de tipo A, 30 de tipo B y 15 de tipo C, por un importe de 2200 euros. En un segundo pedido ha comprado 15 perfumes de tipo A, 10 de tipo B y 10 de tipo C, por un importe de 1250 euros.
a)1,25 pts
¿Cuánto tendremos que pagar por un pedido de 25 perfumes de tipo A, 10 perfumes de tipo B y 16 de tipo C?
b)1,25 pts
Si añadimos que el precio de un perfume de tipo C es 25\frac{2}{5} del precio de una unidad de tipo A, ¿cuál es el precio de cada tipo de perfume?
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
BLOQUE DBloque d

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera el plano π≡x−2y+z−2=0\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0 y la recta r≡{x=1+2λy=λz=1λ∈Rr \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.
a)1 pts
Estudia la posición relativa de π\pi y rr.
b)1,5 pts
Calcula la ecuación de la recta contenida en π\pi que pasa por el punto P(2,−1,−2)P(2, -1, -2) y es perpendicular a rr.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
BLOQUE DBloque d

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera los puntos A(4,0,0)A(4, 0, 0) y B(0,2,0)B(0, 2, 0). Calcula los puntos del plano OXZOXZ que forman un triángulo equilátero con AA y BB.
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